Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 99

rozdział 2. Jezyk matematyki · temat „2.9. Zastosowanie przekształceń algebraicznych” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

Warto tutaj w pięciu ułamkach z pierwiastkami pomnożyć przez właściwe wyrażenie sprzężone i otrzymać mianowniki wymierne.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone z mianownikiem.

a) $\frac{1}{6+\sqrt2}=\frac{6-\sqrt2}{36-2}=\frac{6-\sqrt2}{34}$ .
b) $\frac{2\sqrt2(4-\sqrt5)}{16-5}=\frac{8\sqrt2-2\sqrt{10}}{11}$ .
c) $\frac{2(4+3\sqrt2)}{16-18}=-4-3\sqrt2$ .
d) $\frac{(2\sqrt3-1)(2\sqrt3-2)}{12-4}=\frac{7-3\sqrt3}{4}$ .
e) $\frac{\sqrt3(\sqrt5-\sqrt3)}{5-3}=\frac{\sqrt{15}-3}{2}$ .

Odpowiedź

a) $\frac{6-\sqrt2}{34}$ , b) $\frac{8\sqrt2-2\sqrt{10}}{11}$ , c) $-4-3\sqrt2$ , d) $\frac{7-3\sqrt3}{4}$ , e) $\frac{\sqrt{15}-3}{2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

Rozwiązujemy trzy równania z kwadratami dwumianów, wykorzystując wzory algebraiczne do redukcji składników drugiego stopnia.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $x^2-(x^2-4x+4)=8$ , więc $4x-4=8$ i $x=3$ .
b) $(3x+1)^2-9x^2=7$ , czyli $6x+1=7$ i $x=1$ .
c) $(x+1)^2-(x^2-1)=12$ , zatem $2x+2=12$ i $x=5$ .

Odpowiedź

a) $x=3$ , b) $x=1$ , c) $x=5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

Rozwiązujemy cztery nierówności zawierające kwadraty i iloczyny, upraszczając je wzorami skróconego mnożenia do postaci liniowej.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po rozwinięciu kwadratów wyrazy $x^2$ się redukują.

a) $-4x-1<3\iff x>-1$ .
b) $-6x+9\ge12\iff x\le-\frac12$ .
c) $4x^2-1>4x^2-9x\iff x>\frac19$ .
d) $1-4x^2+4x\le9-4x^2\iff x\le2$ .

Odpowiedź

a) $x>-1$ , b) $x\le-\frac12$ , c) $x>\frac19$ , d) $x\le2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem