Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 98

rozdział 2. Jezyk matematyki · temat „Liczby wielokątne” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

Celem jest to, by wykorzystać związek liczb kwadratowych z sumami kolejnych liczb nieparzystych i szybko obliczyć sumę pierwszych dwudziestu takich liczb.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

$n$ -ta liczba kwadratowa jest sumą $n$ początkowych liczb nieparzystych i wynosi $n^2$ . Dla $n=20$ :

1+3+5+\ldots+39=20^2=400.

Odpowiedź

$400$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Ćwiczymy tutaj, jak porównać wzory na liczby kwadratowe i trójkątne oraz dowieść, że każda kolejna liczba kwadratowa rozkłada się na dwie sąsiednie trójkątne.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

$n$ -ta i $(n-1)$ -sza liczba trójkątna wynoszą odpowiednio $T_n=\frac{n(n+1)}2$ i $T_{n-1}=\frac{(n-1)n}2$ . Zatem

T_{n-1}+T_n =\frac{n(n-1)+n(n+1)}2 =\frac{2n^2}{2}=n^2,

czyli otrzymujemy $n$ -tą liczbę kwadratową.

Odpowiedź

$T_{n-1}+T_n=n^2$ dla każdego $n>1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 3

Podstawiamy odpowiedni numer i liczbę boków do ogólnego wzoru na liczby wielokątne, wyznaczając szóstą liczbę pięciokątną.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla liczby pięciokątnej podstawiamy $r=5$ i $n=6$ do wzoru $(r-2)\frac{n(n-1)}2+n$ :

(5-2)\cdot\frac{6\cdot5}{2}+6=3\cdot15+6=51.

Odpowiedź

Szósta liczba pięciokątna jest równa $51$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Zadanie polega na tym, by z ogólnego wzoru wyznaczyć pięć kolejnych liczb sześciokątnych i dla każdej przygotować układ punktów pokazujący jej geometryczne znaczenie.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $r=6$ wzór przyjmuje postać

(6-2)\frac{n(n-1)}2+n=2n(n-1)+n=2n^2-n.

Dla $n=1,2,3,4,5$ otrzymujemy kolejno $1,6,15,28,45$ .

Ilustrację można skonstruować z punktów: zaczynamy od jednego punktu, a w kolejnych sześciokątnych warstwach dokładamy odpowiednio $5,9,13,17$ punktów. Sumy częściowe dają obliczone liczby.

Odpowiedź

Pierwszych pięć liczb sześciokątnych to $1,6,15,28,45$ ; kolejne układy punktów powstają przez dołożenie warstw liczących $5,9,13,17$ punktów.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem