NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 97 — rozwiązania zadań

Zadanie 3

Liczymy tu osiem rozbudowanych kombinacji kwadratów i iloczynów z pierwiastkami, wykorzystując symetrię wyrażeń sprzężonych.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy kwadraty i korzystamy z różnicy kwadratów.

a) Wyrazy z $\sqrt2$ redukują się: wynik $6$ .
b) $(4-2\sqrt3)-(7-4\sqrt3)=-3+2\sqrt3$ .
c) Ze wzoru $(u-v)^2-(u+v)^2=-4uv$ dostajemy $-12\sqrt3$ .
d) Ze wzoru $(u+v)^2-(u-v)^2=4uv$ dostajemy $4\sqrt2$ .
e) $(16-5)-(5-4)=10$ .
f) $1+(11-2\sqrt{30})=12-2\sqrt{30}$ .
g) $(30-20\sqrt2)-(-19)=49-20\sqrt2$ .
h) $(18-12\sqrt2)-49=-31-12\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $6$ , b) $-3+2\sqrt3$ , c) $-12\sqrt3$ , d) $4\sqrt2$ , e) $10$ , f) $12-2\sqrt{30}$ , g) $49-20\sqrt2$ , h) $-31-12\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Upraszczamy cztery iloczyny pierwiastków z wyrażeń sprzężonych, najpierw łącząc radicanda w różnice kwadratów.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy pierwiastki, a pod nimi stosujemy różnicę kwadratów:

a) $\sqrt{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\sqrt1=1$ .
b) $\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt1=1$ .
c) $\sqrt{(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)}=\sqrt4=2$ .
d) $\sqrt{(4-2\sqrt3)(4+2\sqrt3)}=\sqrt4=2$ .

Odpowiedź

a) $1$ , b) $1$ , c) $2$ , d) $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Rozważamy tutaj, jak dla trzech niewymiernych długości krawędzi użyć wzoru na pole powierzchni sześcianu i uprościć kwadraty dwumianów.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi $P_c=6a^2$ .

a) $6(3+\sqrt2)^2=6(11+6\sqrt2)=66+36\sqrt2$ .
b) $6(2\sqrt3-1)^2=6(13-4\sqrt3)=78-24\sqrt3$ .
c) $6(\sqrt6+\sqrt2)^2=6(8+4\sqrt3)=48+24\sqrt3$ .

Odpowiedź

a) $66+36\sqrt2$ , b) $78-24\sqrt3$ , c) $48+24\sqrt3$ (w jednostkach kwadratowych).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Zadanie pokazuje, jak dla dwóch par przyprostokątnych wyznaczyć przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa, a następnie obliczyć i uprościć obwód.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przeciwprostokątna ma długość $c=\sqrt{a^2+b^2}$ .

a) $a^2+b^2=(4-\sqrt2)^2+(4+\sqrt2)^2=36$ , więc $c=6$ . Ponieważ $a+b=8$ , obwód wynosi $14$ .
b) $a^2+b^2=(66+16\sqrt2)+(24-16\sqrt2)=90$ , więc $c=3\sqrt{10}$ . Suma przyprostokątnych to $12-\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $14$ .
b) $12-\sqrt2+3\sqrt{10}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Tutaj należy rozwinąć cztery kwadraty sum lub różnic zagnieżdżonych pierwiastków i uprościć powstałe wyrażenia sprzężone.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzór na kwadrat sumy lub różnicy. Iloczyny pod pierwiastkami są różnicami kwadratów.

a) $8+2\sqrt{16-7}=8+6=14$ .
b) $2\sqrt5-2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}=2\sqrt5-2$ .
c) $10+2\sqrt{25-24}=12$ .
d) $2\sqrt7-2\sqrt{7-3}=2\sqrt7-4$ .

Odpowiedź

a) $14$ , b) $2\sqrt5-2$ , c) $12$ , d) $2\sqrt7-4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

Celem ćwiczenia jest to, by najpierw uprościć cztery wielomianowe kombinacje wzorami skróconego mnożenia, a następnie podstawić złożone wartości x i y.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyrażenie jest równe $6y(2x-3y)=12xy-18y^2$ . Tu $xy=\sqrt{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=1$ oraz $y^2=\sqrt{10}+3$ , więc wynik to $-18\sqrt{10}-42$ .
b) Różnica kwadratów upraszcza się do $2(x^2-y^2)$ . Ponieważ $x^2-y^2=8\sqrt3$ , wynik wynosi $16\sqrt3$ .
c) Po redukcji otrzymujemy $-2\sqrt6xy+8y^2$ . Dla $x=\sqrt5-4$ , $y=\sqrt6$ jest to $96-12\sqrt5$ .
d) Obie podstawy kwadratów są liczbami przeciwnymi, zatem ich kwadraty są równe i różnica wynosi $0$ .

Odpowiedź

a) $-18\sqrt{10}-42$ , b) $16\sqrt3$ , c) $96-12\sqrt5$ , d) $0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

W tym przykładzie trzeba za pomocą wzorów algebraicznych przeprowadzić cztery dowody parzystości, nieparzystości lub podzielności wyrażeń zależnych od naturalnego n.

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $(n+1)^2-n^2=2n+1$ , czyli liczba nieparzysta.
b) $(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$ , więc jest nieparzysta.
c) $(n+\frac12)^2-(n-\frac12)^2=2n$ , czyli liczba parzysta.
d) $n^3-n=n(n-1)(n+1)$ . Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: jedna jest parzysta, a jedna podzielna przez $3$ . Iloczyn jest więc podzielny przez $2\cdot3=6$ .

Odpowiedź

Wszystkie cztery własności zachodzą dla każdego $n\in\mathbb N$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 10

Trzeba tu odpowiednio pogrupować trzy składniki, dwukrotnie użyć kwadratu sumy i samodzielnie wyprowadzić wzór na kwadrat sumy a, b oraz c.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Traktujemy $a+b$ jako jeden składnik:

\begin{aligned} (a+b+c)^2&=((a+b)+c)^2\\ &=(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\\ &=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2. \end{aligned}

Po uporządkowaniu otrzymujemy wzór z tezy.

Odpowiedź

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 11

Zadanie sprawdza, czy potrafisz rozwinąć kwadraty w dwóch założeniach i wykazać, że przy podanych warunkach prowadzą one odpowiednio do relacji a równe minus b oraz b równe 2c.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Po rozwinięciu lewej strony i skróceniu wspólnych składników otrzymujemy $-2c(a+b)=0$ . Ponieważ $c\ne0$ , musi być $a+b=0$ , czyli $a=-b$ .

b) Po rozwinięciu i skróceniu wspólnych składników pozostaje $b^2-2bc=0$ , zatem $b(b-2c)=0$ . Założenie $b\ne0$ daje $b=2c$ .

Odpowiedź

a) $a=-b$ .
b) $b=2c$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu