Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 96

rozdział 2. Jezyk matematyki · temat „2.8. Wzory skróconego mnożenia” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

Sedno zadania polega na tym, by w czterech przykładach zastosować różnicę kwadratów do usunięcia nawiasów i zredukować wynikowe wielomiany.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy różnicę kwadratów.

a) $(x^2-9)+(4-x^2)=-5$ .
b) $x^2-\frac94-\left(x^2-\frac14\right)=-2$ .
c) $9x^2-y^2-(x^2-25y^2)=8x^2+24y^2$ .
d) $4x^2-y^2+9x^2-4y^2=13x^2-5y^2$ .

Odpowiedź

a) $-5$ , b) $-2$ , c) $8x^2+24y^2$ , d) $13x^2-5y^2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Spróbujmy tutaj uprościć trzy kombinacje iloczynów sprzężonych i kwadratów dwumianów, a potem obliczyć je dla podanych pierwiastków.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyrażenie redukuje się do $x^2+4$ ; dla $x^2=3$ daje $7$ .
b) Otrzymujemy $1+3x^2$ ; dla $x^2=5$ daje $16$ .
c) Po rozwinięciu mamy $-4x^2-8x+1$ ; po podstawieniu $x=\sqrt2$ dostajemy $-7-8\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $7$ , b) $16$ , c) $-7-8\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 8

Liczymy tu dziewięć iloczynów wyrażeń sprzężonych z pierwiastkami, wykorzystując natychmiastową redukcję składników mieszanych.

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdy iloczyn jest różnicą kwadratów (po ewentualnej zmianie kolejności składników):

a) $25-7=18$ .
b) $36-3=33$ .
c) $1-5=-4$ .
d) $\frac19-\frac64=-\frac{25}{18}$ .
e) $12-\frac14=\frac{47}{4}$ .
f) $8-9=-1$ .
g) $2-3=-1$ .
h) $6-2=4$ .
i) $5-\frac24=\frac92$ .

Odpowiedź

a) $18$ , b) $33$ , c) $-4$ , d) $-\frac{25}{18}$ , e) $\frac{47}{4}$ , f) $-1$ , g) $-1$ , h) $4$ , i) $\frac92$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 9

Uczymy się tutaj, jak uprościć cztery wyrażenia za pomocą różnicy kwadratów i kwadratu dwumianu, a następnie podstawić wskazane wartości niewymierne.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw upraszczamy wyrażenia, a dopiero potem podstawiamy $x$ .

a) $(x^2-4)-(x^2+8x+16)=-8x-20$ , więc otrzymujemy $-8\sqrt5-20$ .
b) $(9x^2-1)+(9x^2-6x+1)=18x^2-6x$ , zatem dla $x=\frac{\sqrt2}{2}$ wynik to $9-3\sqrt2$ .
c) $(4x^2-9)-(4x^2+4x+1)=-4x-10$ , czyli $4\sqrt6-10$ .
d) $(1-16x^2)+(16x^2-24x+9)=10-24x$ , czyli $10+48\sqrt3$ .

Odpowiedź

a) $-8\sqrt5-20$ , b) $9-3\sqrt2$ , c) $4\sqrt6-10$ , d) $48\sqrt3+10$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem