NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 95

Stosujemy wzór na kwadrat sumy albo różnicy i upraszczamy pierwiastki.

a) $7+2\sqrt7+1=8+2\sqrt7$.
b) $5-6\sqrt5+9=14-6\sqrt5$.
c) $36-12\sqrt3+3=39-12\sqrt3$.
d) $16+8\sqrt5+5=21+8\sqrt5$.
e) $3+2\sqrt6+2=5+2\sqrt6$.
f) $7-2\sqrt{35}+5=12-2\sqrt{35}$.
g) $6+2\sqrt{90}+15=21+6\sqrt{10}$.
h) $\frac12-2\sqrt3+6=\frac{13}{2}-2\sqrt3$.

a) Pole całego kwadratu o boku $a+b$ wynosi $(a+b)^2$. Podział daje kwadrat $a\times a$, dwa prostokąty $a\times b$ i kwadrat $b\times b$, więc suma pól części to $a^2+ab+ab+b^2$.

b) Zacznijmy od kwadratu o boku $a$. Po odjęciu dwóch pasów o wymiarach $a\times b$ odejmujemy pole ich wspólnego narożnika dwa razy, więc trzeba raz dodać $b^2$. Pozostaje kwadrat o boku $a-b$:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Rozwijamy prawą stronę:

$$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.$$

Otrzymaliśmy lewą stronę wzoru, więc równość zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$.

W każdym podpunkcie stosujemy $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$.

a) $x^2-9$.
b) $x^2-49$.
c) $4x^2-16$.
d) $25x^2-36$.
e) $9x^2-16y^2$.
f) $9y^2-\frac14x^2$.