NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 93 — rozwiązania zadań

Zadanie 10

Zadanie polega na tym, by rozwinąć nawiasy w czterech nierównościach, zredukować składniki kwadratowe i zapisać otrzymane liniowe zbiory rozwiązań.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po rozwinięciu iloczynów wyrazy kwadratowe się redukują.

a) $9\le6x\iff x\ge\frac32$ .
b) $5x+12<6\iff x<-\frac65$ .
c) $8x-5\ge0\iff x\ge\frac58$ .
d) $-17x+9>x\iff x<\frac12$ .

Odpowiedź

a) $x\ge\frac32$ , b) $x<-\frac65$ , c) $x\ge\frac58$ , d) $x<\frac12$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

Warto tutaj uprościć cztery nierówności z iloczynami, rozwiązać je w zbiorze liczb naturalnych i policzyć dopuszczalne wartości.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przyjmujemy $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ .

a) Nierówność upraszcza się do $x\le2$ , więc pasują $0,1,2$ — $3$ liczby.
b) Otrzymujemy $x<10$ , więc pasuje $0,1,\ldots,9$ — $10$ liczb.
c) Otrzymujemy $x<0$ , zatem nie pasuje żadna liczba naturalna.
d) Nierówność upraszcza się do $x\le4$ , więc pasuje pięć liczb: $0,1,2,3,4$ .

Odpowiedź

a) $3$ , b) $10$ , c) $0$ , d) $5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

Sprawdzamy tutaj, jak ułożyć i rozwiązać równania wynikające z pól trzech par figur, a następnie obliczyć żądane obwody lub różnice pól i obwodów.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Różnica pól wynosi $(2x+30)(x+20)-(2x+10)(x+10)=40x+500$ . Z $40x+500=900$ mamy $x=10$ . Boki wynoszą odpowiednio $50,30$ oraz $30,20$ , więc obwody to $160$ cm i $100$ cm.

b) Suma pól upraszcza się do $26x-35$ . Równanie $26x-35=69$ daje $x=4$ . Pola wynoszą $6$ cm $^2$ i $63$ cm $^2$ , więc ich różnica to $57$ cm $^2$ .

c) Różnica pól to $(2x+7)^2-(4x+1)(x+3)=15x+46$ . Stąd $15x+46=91$ , czyli $x=3$ . Obwody wynoszą $52$ cm oraz $38$ cm, a ich różnica $14$ cm.

Odpowiedź

a) $160$ cm i $100$ cm.
b) $57$ cm $^2$ .
c) $14$ cm.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

Tym razem trzeba sprawnie rozwinąć cztery długie iloczyny, kolejno stosując rozkład różnicy kwadratów i zależności między sumą oraz różnicą sześcianów.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Kolejno stosujemy iloczyny sumy i różnicy.

a) $(x+1)(x-1)=x^2-1$ , więc iloczyn ma postać $(x^2-1)^2(x^4-1)$ i po rozwinięciu daje $x^8-2x^6+2x^2-1$ .
b) $(1-x)(1+x)=1-x^2$ , następnie $(1-x^2)(1+x^2)=1-x^4$ , więc wynik to $1-x^8$ .
c) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ ; po pomnożeniu przez $a^3-b^3$ otrzymujemy $a^6-b^6$ .
d) Pierwsze dwa czynniki dają $a^3-b^3$ , więc wynik jest jego kwadratem.

Odpowiedź

a) $x^8-2x^6+2x^2-1$ .
b) $1-x^8$ .
c) $a^6-b^6$ .
d) $a^6-2a^3b^3+b^6$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

Ten przykład pokazuje, jak z wymiarów dwóch arkuszy po wycięciu narożników utworzyć wzory objętości otwartych pudełek oraz uzasadnić podaną postać jednego z nich.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po wycięciu narożników wysokość pudełka wynosi $x$ , a oba wymiary podstawy zmniejszają się o $2x$ .

a)

V=x(30-2x)(20-2x)=x(600-100x+4x^2) =4x^3-100x^2+600x.

b)

V=x(40-2x)^2=x(1600-160x+4x^2) =4x^3-160x^2+1600x.

Odpowiedź

a) $V=4x^3-100x^2+600x$ .
b) $V=4x^3-160x^2+1600x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem