NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 92 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Zadanie pokazuje, jak rozwinąć sześć iloczynów dwumianów z dwiema zmiennymi, a następnie uporządkować wyniki według potęg i znaków.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

a) $2a^2-2a+ab-b$ .
b) $6ab+9a-4b^2-6b$ .
c) $-12a^2+4a+6ab-2b$ .
d) $-6b-3-8ab-4a$ .
e) $2a^2-4ab+ab^2-2b^3$ .
f) $2a^2b-3a^3-6b^2+9ab$ .

Odpowiedź

a) $2a^2-2a+ab-b$ .
b) $6ab+9a-4b^2-6b$ .
c) $-12a^2+4a+6ab-2b$ .
d) $-4a-8ab-6b-3$ .
e) $2a^2-4ab+ab^2-2b^3$ .
f) $-3a^3+2a^2b+9ab-6b^2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Tutaj należy wykonać sześć wieloetapowych mnożeń wielomianów, w tym iloczyny z dodatkowym jednomianem, i zredukować powstałe składniki.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy iloczyny po kolei.

a) $(x+2y+3)(x-2)=x^2+x+2xy-4y-6$ .
b) $(2x-y+1)(2x-3)=4x^2-4x-2xy+3y-3$ .
c) Mnożenie przez trzy składniki daje $x^3+x^2y+2x^2+xy+y^2+2y$ .
d) $(x-y)(x^2-2x+1)=x^3-x^2y-2x^2+2xy+x-y$ .
e) Najpierw $(x-2y)(3+y)$ , potem mnożymy wynik przez $2x$ .
f) Korzystamy z $(2x-y)(2x+y)=4x^2-y^2$ .

Odpowiedź

a) $x^2+x+2xy-4y-6$ .
b) $4x^2-4x-2xy+3y-3$ .
c) $x^3+x^2y+2x^2+xy+y^2+2y$ .
d) $x^3-x^2y-2x^2+2xy+x-y$ .
e) $2x^2y+6x^2-12xy-4xy^2$ .
f) $-16x^3+4xy^2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Celem ćwiczenia jest to, by rozwinąć nawiasy w czterech wyrażeniach z dwiema zmiennymi i uprościć wyniki przez redukcję przeciwnych lub podobnych wyrazów.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Po rozwinięciu obu iloczynów: $a^2-a-12+a^2+a-12=2a^2-24$ .
b) Pierwszy iloczyn to $2a^2+5ab-3b^2$ , drugi $2a^2-7ab-4b^2$ ; po odjęciu zostaje $12ab+b^2$ .
c) Rozwijamy dwa iloczyny i redukujemy, otrzymując $4y^2-4x^2-3xy$ .
d) W nawiasie $x(x+2)-x(x-3)=5x$ , więc wynik to $2x^2+15x$ .

Odpowiedź

a) $2a^2-24$ , b) $12ab+b^2$ , c) $4y^2-4x^2-3xy$ , d) $2x^2+15x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

W tym przykładzie trzeba najpierw algebraicznie uprościć dwa rozbudowane wyrażenia, a potem obliczyć ich wartości dla x równego minus jednej drugiej.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyrażenie w drugim nawiasie to $6x+24-5x-30=x-6$ . Stąd $(x+2)(x-6)=x^2-4x-12$ . Dla $x=-0{,}5$ wartość wynosi $0{,}25+2-12=-9{,}75$ .

b) Po rozwinięciu wszystkie wyrazy stopnia czwartego redukują się i otrzymujemy $x^3-x^2-6$ . Dla $x=-0{,}5$ : $-0{,}125-0{,}25-6=-6{,}375$ .

Odpowiedź

a) $x^2-4x-12$ ; wartość $-9{,}75$ .
b) $x^3-x^2-6$ ; wartość $-6{,}375$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Trzeba tu zapisać pole prostokąta jako wielomian, porównać je z polem kwadratu powstałego po zmianie boków i wyznaczyć różnicę pól.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Pole prostokąta wynosi $a(a+2)=a^2+2a$ .

b) Po zmianie oba boki mają długość $a+1$ , więc pole kwadratu to $(a+1)^2=a^2+2a+1$ . Różnica pól jest równa $(a^2+2a+1)-(a^2+2a)=1$ .

Odpowiedź

a) $P=a^2+2a$ .
b) Pole kwadratu jest większe o $1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Zadanie sprawdza, czy potrafisz za pomocą wyrażeń algebraicznych obliczyć zmiany pól kwadratu, trójkąta i prostokąta po opisanych modyfikacjach ich wymiarów.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy stare i nowe pola.

a) $(x+3)^2-(x+1)(x+2)=3x+7$ .
b) Zwiększenie wysokości o $2$ zwiększa pole o $\frac12(a+3)\cdot2=a+3$ .
c) Pole wyjściowe to $(x+4)(2x+3)$ . Jeśli pierwszy bok zwiększymy o $2$ , a drugi o $1$ , przyrost wynosi $(x+6)(2x+4)-(x+4)(2x+3)=5x+12$ . Po zamianie przyrostów otrzymujemy $(x+5)(2x+5)-(x+4)(2x+3)=4x+13$ .

Odpowiedź

a) $3x+7$ .
b) $a+3$ .
c) $5x+12$ lub $4x+13$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Celem jest to, by rozwinąć i uprościć cztery wyrażenia z pierwiastkami, wykorzystując wzajemne redukowanie się składników wymiernych i niewymiernych.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyrazy z $\sqrt6$ redukują się, a część wymierna daje $12-32=-20$ .
b) Wyrazy z $\sqrt{10}$ redukują się, pozostaje $10-16=-6$ .
c) Pierwszy iloczyn upraszcza się do $-\sqrt6$ ; po odjęciu $4-\sqrt6$ otrzymujemy $-4$ .
d) Pierwszy iloczyn to $4+3\sqrt{15}$ ; po dodaniu $6-3\sqrt{15}$ otrzymujemy $10$ .

Odpowiedź

a) $-20$ , b) $-6$ , c) $-4$ , d) $10$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

Przekształcamy dwa wyrażenia zależne od dowolnego x do postaci ujawniającej, że ich wartości nigdy nie są ujemne.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Po rozwinięciu pierwszego iloczynu otrzymujemy $12x^2-30x+12$ , a drugiego $12x^2-30x-18$ . Ich różnica wynosi stale $30\ge0$ .

b) Pierwszy iloczyn to $6x^2-7x+2$ , a drugi $5x^2-7x+2$ . Różnica wynosi $x^2\ge0$ dla każdego $x\in\mathbb R$ .

Odpowiedź

a) Wartość wyrażenia wynosi $30$ .
b) Wartość wyrażenia wynosi $x^2$ .
Obie są nieujemne dla każdego $x\in\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu