NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 88

Każde wyrażenie zapisujemy jako wielokrotność znanej sumy $6x+9y=12$.

a) $60x+90y=10(6x+9y)=10\cdot12=120$.
b) $12x+18y=2(6x+9y)=24$.
c) $2x+3y=\frac13(6x+9y)=4$.
d) $x+\frac32y=\frac16(6x+9y)=2$.

a) Wyłączamy $x$:

$$x^2+2xy=x(x+2y)=17{,}5(17{,}5+12{,}5)=17{,}5\cdot30=525.$$

b) Wyłączamy $x$:

$$2x^2-3xy=x(2x-3y)=14(28-18)=14\cdot10=140.$$

W kolejnych pudełkach jest $x,x+1,x+2,\ldots,x+6$ kulek. Ich suma wynosi

$$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6) =7x+21=7(x+3).$$

a) Pięć kolejnych liczb można zapisać jako $n,n+1,n+2,n+3,n+4$. Ich suma to $5n+10=5(n+2)$, więc jest podzielna przez $5$.

b) Trzy kolejne liczby parzyste mają postać $2n,2n+2,2n+4$. Ich suma to $6n+6=6(n+1)$, więc jest podzielna przez $6$.

c) Trzy kolejne liczby nieparzyste mają postać $2n+1,2n+3,2n+5$. Ich suma to $6n+9=3(2n+3)$, więc jest podzielna przez $3$.

Skoro obie liczby są podzielne przez $3$, mają postać $3m$ i $3n$ dla pewnych $m,n\in\mathbb N$. Suma ich kwadratów jest równa

$$(3m)^2+(3n)^2=9m^2+9n^2=9(m^2+n^2).$$

Jest więc wielokrotnością $9$.

Niech $a$ będzie cyfrą dziesiątek, a $b$ cyfrą jedności. Pierwsza liczba ma postać $10a+b$, a liczba z przestawionymi cyframi — $10b+a$. Zatem

$$(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b).$$

Otrzymana suma jest wielokrotnością $11$.