NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 87 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Wykorzystujemy wyłączanie wspólnego czynnika do szybkiego obliczenia sześciu sum iloczynów bez długiego mnożenia.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyłączamy wspólny czynnik, aby w nawiasie otrzymać wygodną sumę.

a) $4(49+51)=4\cdot100=400$ .
b) $40(47+53)=40\cdot100=4000$ .
c) $(113+87)25=200\cdot25=5000$ .
d) $37(63+37)=37\cdot100=3700$ .
e) $10(17+33+50)=10\cdot100=1000$ .
f) $15(17+2+1)=15\cdot20=300$ .

Odpowiedź

a) $400$ , b) $4000$ , c) $5000$ , d) $3700$ , e) $1000$ , f) $300$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Przekształcamy sześć sum algebraicznych w iloczyny przez wyłączenie przed nawias czynnika wskazanego przy każdym przykładzie.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdy składnik dzielimy przez czynnik wskazany po przecinku.

a) Po wyłączeniu $ab$ ilorazami są $a$ i $b^2$ .
b) Po wyłączeniu $xy^2$ ilorazami są $x^2$ i $-y$ .
W pozostałych podpunktach postępujemy identycznie, odejmując wykładniki tych samych zmiennych.

Odpowiedź

a) $ab(a+b^2)$ .
b) $xy^2(x^2-y)$ .
c) $3a^2(3ab^2-c^2)$ .
d) $4y^3(x^4y+2z)$ .
e) $3a^2b(ab-2)$ .
f) $2x^2y^3(3y+4x)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

W tym zadaniu należy w sześciu sumach wyłączyć dokładnie wskazany jednomian, dzieląc przez niego każdy składnik i kontrolując wykładniki zmiennych.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dzielimy każdy składnik sumy przez wskazany jednomian; otrzymane ilorazy zapisujemy w nawiasie.

a) $4x^2:x=4x$ , $xy:x=y$ .
b) $2x^3:(2x)=x^2$ , $-12xy:(2x)=-6y$ .
Analogicznie wykonujemy dzielenia w pozostałych podpunktach.

Odpowiedź

a) $x(4x+y)$ .
b) $2x(x^2-6y)$ .
c) $xy(3-z)$ .
d) $6pq(1+3p)$ .
e) $a^2b(1+3b-a)$ .
f) $x^2y^2(4-5x+2y)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Tym razem trzeba w czterech wielomianach wyłączyć podany jednomian i zapisać każdą początkową sumę w równoważnej postaci iloczynowej.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dzielimy każdy składnik przez wskazany jednomian.

a) Ilorazy to $x,y,z$ .
b) Ilorazy to $x,yz,-x^2$ .
c) Ilorazy to $x,-2y,3z$ .
d) Ilorazy to $4xy,2y,-3x^2$ .

Odpowiedź

a) $xyz(x+y+z)$ .
b) $xyz^2(x+yz-x^2)$ .
c) $2x^2y(x-2y+3z)$ .
d) $3x^3y^2(4xy+2y-3x^2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

Rozkładamy dziewięć wielomianów przez wyłączenie największego wspólnego czynnika liczbowego i najwyższych możliwych potęg zmiennych.

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Współczynnik liczbowy jest największym wspólnym dzielnikiem współczynników, a wykładnik każdej wspólnej zmiennej — najmniejszym z występujących wykładników.

Przykładowo w g) wspólnym czynnikiem jest $2a^2b$ , a w h) — $3p^2q^2$ . Ponowne wymnożenie każdego wyniku odtwarza wyjściową sumę.

Odpowiedź

a) $4x^2(2x-9)$ .
b) $7y^2(1-2y^2)$ .
c) $5x^2(x+2y)$ .
d) $5a(4x-3y)$ .
e) $4b(2a+3c)$ .
f) $2xy(2+3x)$ .
g) $2a^2b(a+2-2b)$ .
h) $3p^2q^2(7p-9q+1)$ .
i) $6xy(8x+3y-2xy)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Odtwarzamy brakujące jednomiany w trzech rozkładach wielomianów, porównując składniki przed i po wymnożeniu nawiasu.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dzieląc przez $9y^2$ , otrzymujemy w nawiasie kolejno $3y^2$ , $4y$ i $-6$ .
b) Ponieważ ostatni składnik prawej strony to $6ab$ , w nawiasie musi być $2$ ; środkowy iloczyn wynosi wtedy $3ab^2$ .
c) Największym wspólnym czynnikiem jest $3t^2$ , a pierwszy wyraz w nawiasie to $4t^2$ .

Odpowiedź

a) $27y^4+36y^3-54y^2=9y^2(3y^2+4y-6)$ .
b) $3ab(3a+b+2)=9a^2b+3ab^2+6ab$ .
c) $12t^4-9t^3+3t^2=3t^2(4t^2-3t+1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Wykorzystujemy zależność a plus b równa się 15 i wyłączanie wspólnego czynnika do obliczenia trzech wyrażeń bez wyznaczania a i b osobno.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym wyrażeniu wyłączamy wspólny czynnik $a+b=15$ .

a) $-3a-3b=-3(a+b)=-3\cdot15=-45$ .
b) $2(a+b)-4a-4b=2(a+b)-4(a+b)=-2\cdot15=-30$ .
c) $a(a+b)+b(a+b)=(a+b)^2=15^2=225$ .

Odpowiedź

a) $-45$ , b) $-30$ , c) $225$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem