NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 85 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Rozwijamy sześć iloczynów jednomianu i wielomianu, stosując rozdzielność oraz reguły potęgowania zmiennych.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdy wyraz w nawiasie mnożymy przez jednomian stojący przed nawiasem.

a) $3x^2\cdot x^2+2x\cdot x^2-4x^2$ .
b) Mnożniki liczbowe dają kolejno $-\frac12,1,4$ .
c) Otrzymujemy $-2x^4y+x^3y^2$ .
d) $\sqrt2\cdot\sqrt8=4$ .
e) Dodajemy wykładniki tych samych zmiennych.
f) $2\sqrt3\cdot\sqrt3=6$ , a $2\sqrt3\cdot(-\frac12)=-\sqrt3$ .

Odpowiedź

a) $3x^4+2x^3-4x^2$ .
b) $-\frac12x^5+x^4+4x^3$ .
c) $-2x^4y+x^3y^2$ .
d) $4x^5y+\sqrt2x^4y^2$ .
e) $x^4y^2-x^3y^2+x^3y^3$ .
f) $6x^3y^5-\sqrt3x^4y^4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Celem ćwiczenia jest to, by obliczyć pola czterech figur jako wyrażenia algebraiczne i dopasować do nich właściwe, uproszczone wzory.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzorów na pola figur odczytanych z opisu rysunku.

A. Trójkąt: $\frac12(a+1)a=\frac12a^2+\frac12a$ — III.
B. Trapez: $\frac{a+(a+1)}2\cdot1=a+\frac12$ — IV.
C. Prostokąt: $a(a+1)=a^2+a$ — II.
D. Prostokąt: $2a(a+\frac12)=2a^2+a$ — I.

Odpowiedź

A – III, B – IV, C – II, D – I.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

W tym przykładzie trzeba w sześciu rozbudowanych wyrażeniach wykonać mnożenie przez nawiasy, a następnie połączyć wszystkie wyrazy podobne.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy nawiasy, a następnie łączymy jednomiany o identycznych częściach literowych.

a) $(6x^2-8x)+(-6x^3-12x^2+18x)$ daje $-6x^3-6x^2+10x$ .
b) $(-\frac12x^4+x^3-3x^2)+(-x^3+8x^2)$ daje $-\frac12x^4+5x^2$ .
c) Po użyciu $\sqrt{18}=3\sqrt2$ i $\sqrt{12}=2\sqrt3$ redukują się wyrazy z $x^3$ ; zostaje $3\sqrt2x^4-4\sqrt6x^2$ .
d) Po rozwinięciu redukują się wyrazy $2x^2y^2$ i $-2x^2y^2$ ; zostaje $-\frac{23}{8}x^2y^3+xy^3$ .
e) Redukcja daje $-x^4y^2+x^4y^3+2x^3y^3$ .
f) Wyrazy $\frac12x^3y$ i $-\frac12x^3y$ redukują się.

Odpowiedź

a) $-6x^3-6x^2+10x$ .
b) $-\frac12x^4+5x^2$ .
c) $3\sqrt2x^4-4\sqrt6x^2$ .
d) $-\frac{23}{8}x^2y^3+xy^3$ .
e) $-x^4y^2+x^4y^3+2x^3y^3$ .
f) $\frac12x^2y^2-\frac34x^2y-\frac12xy$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Trzeba tu rozwinąć i zredukować dwa wielomiany, wykazując, że po uproszczeniu zmienna x znika, a wynik pozostaje stały.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Rozwijamy nawiasy:

(4x^4-6x^3+4x^2)+(-4x^4+6x^3-3x) +(-4x^2+3x+32)=32.

Wszystkie wyrazy zawierające $x$ redukują się.

b) Otrzymujemy kolejno

6\sqrt5x^3-30\sqrt3x^2-5\sqrt6x -6\sqrt5x^3+30\sqrt3x^2+5\sqrt6x-\sqrt6=-\sqrt6.

Tu także wszystkie wyrazy zależne od $x$ się redukują.

Odpowiedź

a) Wartość jest stale równa $32$ .
b) Wartość jest stale równa $-\sqrt6$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 5

Zadanie sprawdza, czy potrafisz zapisać pola czterech figur z rysunków za pomocą wyrażeń algebraicznych i dowieść wskazanej równości między ich sumą a różnicą.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ze skanu odczytujemy, że figura $F_1$ jest różnicą prostokątów o wymiarach $(3x+2)\times(x+4)$ i $(x+2)\times(x+1)$ . Zatem

P_{F_1}=(3x+2)(x+4)-(x+2)(x+1)=2x^2+11x+6.

Pozostałe pola wynoszą:

P_{F_2}=x\left(\frac12x+3\right)=\frac12x^2+3x,

P_{F_3}=5x\left(\frac12x+4\right)=\frac52x^2+20x, \qquad P_{F_4}=6(x-1)=6x-6.

Stąd

P_{F_1}+P_{F_2}=\frac52x^2+14x+6 =P_{F_3}-P_{F_4}.

Odpowiedź

Obie strony mają wartość $\frac52x^2+14x+6$ , więc $P_{F_1}+P_{F_2}=P_{F_3}-P_{F_4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu