NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 84

Pierwiastki są współczynnikami liczby $x$, a nie pierwiastkami z wyrażeń zawierających $x$.

a) $3\sqrt3\,x<15$, więc $x<\frac5{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}$.
b) Ponieważ $\sqrt8=2\sqrt2$, mamy $12<\sqrt2\,x$, czyli $x>6\sqrt2$.
c) $\frac{2\sqrt5}{3}x>\frac83$, zatem $x>\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}$.

a) Wynik $3(2n-11)=6n-33$ ma być naturalny i mniejszy od $21$: $0\le6n-33<21$. Stąd $n\ge6$ i $n<9$.
b) $4(3k+7)>2\iff12k>-26\iff k>-\frac{13}{6}$. Spośród ujemnych liczb całkowitych pasują $-2,-1$.
c) $\frac m2-\frac{m-2}{3}<3$. Po pomnożeniu przez $6$: $3m-2m+4<18$, czyli $m<14$.

a) Suma długości dwunastu krawędzi wynosi $4(3+3+k)=24+4k$. Warunek $38<24+4k<46$ daje $\frac72<k<\frac{11}{2}$, więc $k=4$ lub $5$.

b) Pole powierzchni całkowitej wynosi $2\cdot3^2+4\cdot3k=18+12k$. Z nierówności $40<18+12k<68$ otrzymujemy $\frac{11}{6}<k<\frac{25}{6}$, zatem $k=2,3,4$.

Niech $n$ oznacza liczbę uczestników. Koszt zespołu Gamma ma być mniejszy od kosztu zespołu Kappa:

Mamy $a>b$.

a) Ponieważ $c<0$, to $-c>0$. Mnożenie przez $-c$ zachowuje zwrot: $-ac>-bc$.
b) $c^2>0$, więc dzielenie przez $c^2$ zachowuje zwrot: $\frac a{c^2}>\frac b{c^2}$.
c) $c^3<0$, zatem dzielenie przez $c^3$ odwraca zwrot: $\frac a{c^3}<\frac b{c^3}$.

a) Z $r<s$ wynika $r-s<0$. Mnożąc nierówność $p<q$ przez ujemną liczbę $r-s$, odwracamy jej zwrot i dostajemy $p(r-s)>q(r-s)$.

b) Dodatniość mianowników pozwala mnożyć stronami bez zmiany zwrotu. Założenie $\frac pq<\frac rs$ jest równoważne $ps<qr$.

Pierwsza teza:

Druga teza:

Obie końcowe nierówności są dokładnie założeniem, więc obie tezy zachodzą.