NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 80 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Celem jest to, by przez podstawienie dwóch wskazanych liczb sprawdzić, czy rzeczywiście spełniają odpowiadające im równania liniowe.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy podaną liczbę za $x$ i osobno liczymy obie strony równania.

a) Dla $x=-2$ : $20-5(-2)=30$ oraz $4-13(-2)=30$ , więc równość zachodzi.

b) Dla $x=-5$ : $3(-5)-(1+5(-5))=9$ , natomiast $\frac12(-5)+14=\frac{23}{2}$ . Wartości są różne.

Odpowiedź

a) Liczba $p=-2$ spełnia równanie.
b) Liczba $p=-5$ nie spełnia równania.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Znajdujemy rozwiązania czterech podstawowych równań liniowych, wykonując równoważne operacje po obu stronach.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $2x+4=9\iff2x=5\iff x=\frac52$ .
b) $-3x+6=7\iff-3x=1\iff x=-\frac13$ .
c) $4x+3=2x-9\iff2x=-12\iff x=-6$ .
d) $x-6=5x-2\iff-4=4x\iff x=-1$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac52$ , b) $x=-\frac13$ , c) $x=-6$ , d) $x=-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Rozwiązujemy cztery równania liniowe z ułamkami, usuwając mianowniki i kontrolując otrzymane wartości przez podstawienie.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Usuwamy mianowniki, mnożąc obie strony przez ich wspólną wielokrotność.

a) $4x-1=15\iff4x=16\iff x=4$ .
b) $2-3x=4\iff-3x=2\iff x=-\frac23$ .
c) $6x+1=5x\iff x=-1$ .
d) $6-2x=2x-3\iff9=4x\iff x=\frac94$ ? Znak weryfikujemy: $3-x=\frac{2x-3}{2}\iff6-2x=2x-3$ , zatem $x=\frac94$ .

Odpowiedź

a) $x=4$ , b) $x=-\frac23$ , c) $x=-1$ , d) $x=\frac94$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Rozwiązujemy sześć równań liniowych z rozbudowanymi nawiasami, najpierw redukując ich obie strony do prostszej postaci.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne.

a) $6x-21-7x+13=-10\iff-x-8=-10\iff x=2$ .
b) $54+6x=-6x+30\iff12x=-24\iff x=-2$ .
c) $7-4x=10x-\frac32\iff\frac{17}{2}=14x\iff x=\frac{17}{28}$ .
d) $3x=2x-4\iff x=-4$ .
e) $4x-3=11\iff x=\frac72$ .
f) Lewa strona redukuje się do $2-x$ , więc $2-x=0\iff x=2$ .

Odpowiedź

a) $x=2$ , b) $x=-2$ , c) $x=\frac{17}{28}$ , d) $x=-4$ , e) $x=\frac72$ , f) $x=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Sprawdzamy tutaj, jak po uproszczeniu czterech równań rozstrzygnąć, które są prawdziwe dla każdego x, a które nie mają żadnego rozwiązania.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po uproszczeniu obu stron zmienna znika. Jeśli pozostaje zdanie prawdziwe, równanie jest tożsamościowe; jeśli fałszywe — sprzeczne.

a) $3x-6=3x-6$ — tożsamość.
b) $1-2x=-1-2x\iff1=-1$ — sprzeczność.
c) $6x-9=6x-4\iff-9=-4$ — sprzeczność.
d) $4-\frac14x=4-\frac14x$ — tożsamość.

Odpowiedź

a), d) równania tożsamościowe; b), c) równania sprzeczne.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Tym razem trzeba odwrócić kolejne działania pokazane na schemacie i odtworzyć liczbę początkową prowadzącą do wyniku 17.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Schemat z OCR daje równanie

2\left(\frac{4x+6}{3}-2\right)+9=17.

Ponieważ $\frac{4x+6}{3}-2=\frac{4x}{3}$ , otrzymujemy $\frac{8x}{3}+9=17$ , czyli $\frac{8x}{3}=8$ i $x=3$ .

Odpowiedź

$x=3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem