NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 79

Najpierw zapisujemy $A=[-4;0)$, $B=(-1;3]$ i $C=[2;\infty)$.

a) $A\cup B=[-4;3]$. Po usunięciu $C$ zostaje $[-4;2)$.
b) $A\cup C=[-4;0)\cup[2;\infty)$. Usunięcie $B=(-1;3]$ pozostawia $[-4;-1]\cup(3;\infty)$.
c) $A\cap B=(-1;0)$, a ten przedział nie przecina się z $C$.

Dopełnienie zawiera wszystkie liczby rzeczywiste nienależące do danego zbioru. Następnie przecinamy otrzymane dopełnienia.

a) $A'=(-\infty;-3]\cup[0;\infty)$, $B'=(-\infty;\frac12)\cup(3;\infty)$.
b) $A'=(-\infty;-4)\cup(4;\infty)$, $B'=(-\infty;0]\cup[2;\infty)$.
c) $A'=[1;3]$, natomiast $B'=(-\infty;-4)\cup(4;\infty)$, więc nie mają punktów wspólnych.
d) $A'=[0;1]\cup[5;\infty)$ i $B'=(-\infty;-5]\cup[-1;\infty)$; cały $A'$ zawiera się w $B'$.

OCR nie zawierał współrzędnych brzegów, dlatego odczytano je punktowo ze skanu. Pionowe boki wyznaczają dozwolone wartości $x$, a poziome — wartości $y$; rodzaj linii rozstrzyga o włączeniu brzegu.

a) Dwa pionowe prostokąty mają $x\in[-3;-1]\cup(2;6)$ i wspólny zakres wysokości $y\in[1;3]$.
b) Dwa poziome prostokąty mają $x\in[-3;6]$, natomiast $y\in[1;2]\cup(3;4)$.

Niech $X=[-3;-1]\cup(1;2)$. Każdy warunek opisuje iloczyn kartezjański zbioru $X$ i odpowiedniego zbioru wartości $y$.

a) $X\times[-2;3]$ tworzy dwa prostokąty; pionowe krawędzie przy $x=-3,-1$ należą do zbioru, a przy $x=1,2$ nie należą.
b) $X\times\bigl((-3;-1)\cup(1;3]\bigr)$ tworzy cztery prostokąty.
c) $X\times\bigl((-\infty;-1]\cup[2;\infty)\bigr)$ tworzy cztery nieograniczone pasy prostokątne.

a) Z każdej z dwóch części $C_1$ usuwamy jej środkową trzecią część:

$$C_2=\left[0;\frac19\right]\cup\left[\frac29;\frac13\right] \cup\left[\frac23;\frac79\right]\cup\left[\frac89;1\right].$$

Każdy etap pozostawia $\frac23$ łącznej długości z etapu poprzedniego. Zatem $|C_2|=4\cdot\frac19=\frac49$, a $|C_1|=\frac23$, więc $\frac{|C_2|}{|C_1|}=\frac23$.

b) Po czterech etapach łączna długość wynosi $\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81}$ długości $C_0$.