NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 78 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Sedno zadania polega na tym, by przeprowadzić komplet czterech działań na każdej z czterech par przedziałów i starannie ustalić domknięcie nowych końców.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Zbiory zachodzą na siebie od $-1$ do $0$ ; punkt $-1$ należy do obu, a $0$ tylko do $B$ .

b) Część wspólna biegnie od $-\frac12$ do $2$ i ma oba końce.

c) Cały zbiór $B$ jest zawarty w $A$ . Po odjęciu $B$ od $A$ zostaje lewa półprosta oraz punkt $2$ .

d) Przedziały stykają się w punkcie $2$ , który należy do obu.

Odpowiedź

a) $A\cup B=(-3;4)$ , $A\cap B=[-1;0)$ , $A\setminus B=(-3;-1)$ , $B\setminus A=[0;4)$ .
b) $A\cup B=(-4;3)$ , $A\cap B=[-\frac12;2]$ , $A\setminus B=(-4;-\frac12)$ , $B\setminus A=(2;3)$ .
c) $A\cup B=(-\infty;2]$ , $A\cap B=[0;2)$ , $A\setminus B=(-\infty;0)\cup\{2\}$ , $B\setminus A=\varnothing$ .
d) $A\cup B=[-1;\infty)$ , $A\cap B=\{2\}$ , $A\setminus B=[-1;2)$ , $B\setminus A=(2;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Spróbujmy tutaj zilustrować trzy przecięcia przedziałów ze zbiorami liczb naturalnych lub całkowitych, a potem policzyć ich elementy.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przyjmujemy używaną w podręczniku konwencję $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ .

a) $[-5;6]\cap\mathbb N=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ — $7$ elementów.
b) $(-3;3)\cap\mathbb Z=\{-2,-1,0,1,2\}$ — $5$ elementów.
c) Ponieważ $3<\pi<4$ , mamy $(-\pi;\pi)\cap\mathbb N=\{0,1,2,3\}$ — $4$ elementy.

Odpowiedź

a) $7$ , b) $5$ , c) $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

Uczymy się tutaj, jak w czterech przypadkach usunąć z przedziału A elementy należące do B i poprawnie zapisać pozostałe części zbioru.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z każdego przedziału $A$ usuwamy punkty należące do $B$ . Jeśli usuwany koniec należał do $B$ , to w wyniku pojawia się przy nim nawias okrągły.

a) Usuwamy otwarty przedział $(-3;-1)$ , więc jego końce zostają.
b) Usuwamy $[2;\frac52)$ ; liczba $2$ znika, a $\frac52$ zostaje.
c) Usuwamy $[-1;2)$ z półprostej zaczynającej się w $-3$ .
d) Dopełnieniem $[-3;1]$ w $\mathbb R$ są dwie otwarte półproste.

Odpowiedź

a) $[-5;-3]\cup[-1;4]$ .
b) $[-3;2)\cup\left[\frac52;5\right)$ .
c) $[-3;-1)\cup[2;\infty)$ .
d) $(-\infty;-3)\cup(1;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Podczas tego ćwiczenia trzeba wykonać cztery działania na dwóch ustalonych przedziałach i dla każdego wyniku policzyć należące do niego liczby całkowite.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ponieważ $A=(-5;3)$ jest zawarty w $B=(-7;4)$ , otrzymujemy:

a) $A\cup B=(-7;4)$ , a należą do niego liczby $-6,-5,\ldots,3$ — $10$ liczb.
b) $A\cap B=(-5;3)$ , czyli liczby $-4,-3,\ldots,2$ — $7$ liczb.
c) $A\setminus B=\varnothing$ — $0$ liczb.
d) $B\setminus A=(-7;-5]\cup[3;4)$ , więc należą do niego $-6,-5,3$ — $3$ liczby.

Odpowiedź

a) $10$ , b) $7$ , c) $0$ , d) $3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Przedstawiamy na osi cztery zbiory złożone z kilku przedziałów, półprostych i pojedynczych punktów.

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdą składową zaznaczamy osobno. Nawias kwadratowy oznacza pełny punkt końcowy, nawias okrągły — punkt pusty, a zbiór jednoelementowy — pojedynczy pełny punkt.

a) Trzy domknięte odcinki: $[-2;0]$ , $[1;2]$ , $[4;6]$ .
b) Dwa odcinki i półprosta: $(-3;-1)$ , $(0;2]$ , $[3;\infty)$ .
c) Lewa półprosta do $-4$ włącznie, $[-2;1)$ i punkt $3$ .
d) Lewa półprosta bez $-2$ , punkty $0,1$ i prawa półprosta od $4$ .

Odpowiedź

Na osi należy zaznaczyć dokładnie składowe podane w treści, zachowując otwarte i domknięte końce opisane powyżej.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 5

Rozważamy tutaj, jak dla sześciu par niekiedy rozłącznych przedziałów wykonać sumę, przecięcie i obie różnice, wspierając rachunek rysunkiem osi.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw łączymy wszystkie punkty należące do co najmniej jednego zbioru, potem wybieramy część wspólną, a przy różnicach usuwamy odpowiedni zbiór.

a) Część wspólna występuje na $(0;1)$ oraz $(3;4)$ .
b) Zbiór $B$ pokrywa prawą część obu składowych $A$ .
c) $B=(-1;6)$ wypełnia przerwę między składowymi $A$ .
d) Zbiory mają wspólny tylko punkt $0$ .
e) Wspólna jest wyłącznie składowa $(1;3)$ .
f) Cały zbiór $B$ jest zawarty w $A$ .

Odpowiedź

a) $A\cup B=(-3;6)$ , $A\cap B=(0;1)\cup(3;4)$ , $A\setminus B=(-3;0]\cup[4;6)$ , $B\setminus A=[1;3]$ .
b) $A\cup B=[-2;\infty)$ , $A\cap B=(0;1]\cup[4;5]$ , $A\setminus B=[-2;0]$ , $B\setminus A=(1;4)\cup(5;\infty)$ .
c) $A\cup B=(-\infty;6)$ , $A\cap B=(-1;0]\cup[2;5]$ , $A\setminus B=(-\infty;-1]$ , $B\setminus A=(0;2)\cup(5;6)$ .
d) $A\cup B=(-2;0]\cup[3;5]$ , $A\cap B=\{0\}$ , $A\setminus B=(-2;0)$ , $B\setminus A=[3;5]$ .
e) $A\cup B=[0;7]\cup[8;9]$ , $A\cap B=(1;3)$ , $A\setminus B=[0;1]\cup[3;7]$ , $B\setminus A=[8;9]$ .
f) $A\cup B=[1;9]$ , $A\cap B=(1;2)\cup(6;9)$ , $A\setminus B=\{1\}\cup[2;6]\cup\{9\}$ , $B\setminus A=\varnothing$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Zadanie pokazuje, jak porównać cztery pary zbiorów łączących przedziały z pojedynczymi punktami i wyznaczyć obie różnice w każdej parze.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Usuwamy z pierwszego zbioru wszystkie punkty drugiego, także pojedyncze punkty leżące wewnątrz przedziału.

a) Z $[-5;2]$ usuwamy $1$ i $2$ .
b) Z półprostej $[3;\infty)$ usuwamy $3,4$ ; punkt $2$ pozostaje tylko w $B$ .
c) Część wspólna to $\{0,4\}$ .
d) Część wspólna to $\{1,3\}$ .

Odpowiedź

a) $A\setminus B=[-5;1)\cup(1;2)$ , $B\setminus A=\varnothing$ .
b) $A\setminus B=(3;4)\cup(4;\infty)$ , $B\setminus A=\{2\}$ .
c) $A\setminus B=(-\infty;0)\cup(0;4)$ , $B\setminus A=(4;\infty)$ .
d) $A\setminus B=\{2\}$ , $B\setminus A=(2;3)\cup(3;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem