NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 76

a) Lewy koniec to $-2\frac23=-\frac83$ i nie należy do przedziału. Dlatego $x=-\frac83$ odpada. Liczba $y=-2\frac34<-2\frac23$ także nie należy, natomiast $z=3\frac25<3\frac23$ należy.

b) Mamy $-0{,}(9)=-1$ oraz $1{,}(9)=2$. Przedział zawiera $-1$, ale nie zawiera $2$. Liczba $-1{,}01$ jest mniejsza od $-1$.

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny są funkcjami rosnącymi, więc można podnieść końce przedziałów do odpowiedniej potęgi.

a) $1\le x\le4$, zatem $x\in\{1,2,3,4\}$ — $4$ liczby.

b) $4\le x\le9$ — $6$ liczb całkowitych.

c) $1<x<8$, więc $x=2,3,4,5,6,7$ — $6$ liczb.

d) $-8\le x<0$, więc $x=-8,-7,\ldots,-1$ — $8$ liczb.

Porównujemy położenie końców i ich domknięcie.

a) Każdy punkt $A=(-1;2]$ należy do $B=[-1;3)$, więc $A\subset B$.

b) Punkt $7$ należy do $B$, lecz nie do $A$, a np. $0$ należy do $A$, lecz nie do $B$. Nie zachodzi żadna zależność.

c) $-\frac78<-\frac67$ i $\frac{13}{7}<\frac{15}{8}$, więc cały domknięty przedział $B$ leży wewnątrz $A$: $B\subset A$.

d) $\pi<\frac{22}{7}$ oraz $7<\sqrt{50}$, zatem $A\subset B$.

Wybieramy najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do danego przedziału; przedział domknięty o tych końcach jest najdłuższy.

a) Liczby całkowite skrajne to $-2$ i $5$.
b) Ponieważ $-\pi<-3$ i prawy koniec $6$ jest wyłączony, są to $-3$ i $5$.
c) Są to $-3$ i $2$.
d) Z $-\sqrt2<-1$ i $1<\sqrt3$ otrzymujemy $-1$ i $1$.

Szukana liczba jest środkiem przedziału $[a;b]$, czyli ma wartość $\frac{a+b}{2}$.

a) $\frac{-3+1}{2}=-1$.
b) $\frac{-2+3}{2}=\frac12$.
c) $\frac{\sqrt2+4\sqrt2}{2}=\frac{5\sqrt2}{2}$.
d) $\frac{\frac54+\frac{11}{4}}2=2$.

Dwa domknięte przedziały mają dokładnie jeden punkt wspólny wtedy, gdy stykają się końcami.

Jeśli pierwszy leży z lewej strony, to $p+1=2p$, skąd $p=1$. Jeśli z lewej strony leży drugi, to $2p+1=p$, skąd $p=-1$. Dla obu wartości wspólna część rzeczywiście jest jednoelementowa.

Skala obu osi wynosi jedną jednostkę. Ze skanu odczytujemy pionowe i poziome krawędzie figur.

a) Prostokąt $B$ rozciąga się od $x=1$ do $x=2$ oraz od $y=1$ do $y=5$.

b) Kwadrat $C$ rozciąga się od $x=-5$ do $x=-1$ oraz od $y=0$ do $y=4$.

Linia przerywana oznacza wyłączenie odpowiedniej wartości współrzędnej.

Rysunek I ma przerywane boki pionowe i ciągłe poziome, więc opisuje $x\in(1;5)$ i $y\in[1;4]$ — podpunkt c).

Rysunek II ma lewy bok przerywany, a pozostałe ciągłe, więc opisuje $x\in(2;4]$, $y\in[1;4]$ — podpunkt a).

Rysunek III ma boki poziome przerywane i pionowe ciągłe, więc opisuje $x\in[1;5]$, $y\in(2;4)$ — podpunkt b).