NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 75 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Ćwiczymy tutaj, jak zamienić cztery warunki dla zmiennej na zapis przedziałowy i pokazać otrzymane zbiory na osi liczbowej.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Nierówność nieostra oznacza domknięcie końca, a ostra — jego otwarcie. W półprostych nieskończoność zawsze zapisujemy przy nawiasie okrągłym.

a) Oba końce należą do zbioru.
b) Lewy koniec należy, prawy nie należy.
c) Zbiór biegnie od $2\frac14=\frac94$ w prawo i zawiera ten punkt.
d) Zbiór biegnie w lewo od $-\frac13$ i nie zawiera tego punktu.

Odpowiedź

a) $[-7;0]$ .
b) $\left[\frac14;\sqrt2\right)$ .
c) $\left[\frac94;\infty\right)$ .
d) $\left(-\infty;-\frac13\right)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

W tym zadaniu należy odczytać z ośmiu rysunków końce przedziałów, zapisać je symbolicznie i sformułować odpowiadające im warunki dla zmiennej.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z osi odczytujemy oba końce i kierunek zaznaczonej części. Puste kółko daje nawias okrągły i nierówność ostrą, pełne — nawias kwadratowy i nierówność nieostrą.

Odpowiedź

a) $(-7;2]$ , czyli $-7<x\le2$ .
b) $[-50;20]$ , czyli $-50\le x\le20$ .
c) $\left(\frac13;\frac23\right)$ , czyli $\frac13<x<\frac23$ .
d) $[3{,}14;\pi)$ , czyli $3{,}14\le x<\pi$ .
e) $(-\infty;10)$ , czyli $x<10$ .
f) $(\sqrt2;\infty)$ , czyli $x>\sqrt2$ .
g) $\left[-\frac14;\infty\right)$ , czyli $x\ge-\frac14$ .
h) $(-\infty;2\pi)$ , czyli $x<2\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

Uzupełniamy tabelę łączącą nazwy, zapis symboliczny, warunki i rysunki czterech rodzajów przedziałów nieograniczonych.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Nawias okrągły przy skończonym końcu oznacza nierówność ostrą i puste kółko, a nawias kwadratowy — nierówność nieostrą i pełne kółko. Przedział biegnący do $\infty$ jest skierowany w prawo, a biegnący od $-\infty$ — w lewo.

Odpowiedź

Uzupełniona tabela:

Nazwa zbioru	Oznaczenie	Warunek	Ilustracja graficzna
przedział otwarty	$(a;\infty)$	$x>a$	półprosta w prawo z pustym kółkiem w $a$
przedział lewostronnie domknięty	$[a;\infty)$	$x\ge a$	półprosta w prawo z pełnym kółkiem w $a$
przedział prawostronnie domknięty	$(-\infty;b]$	$x\le b$	półprosta w lewo z pełnym kółkiem w $b$
przedział otwarty	$(-\infty;b)$	$x<b$	półprosta w lewo z pustym kółkiem w $b$

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 3

Zadanie polega na tym, by opisać przedziałami cztery zbiory liczb o zadanym znaku i odległości od zera oraz zaznaczyć je na osi.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dodatniość daje $x>0$ , a odległość mniejsza od $4$ daje $|x|<4$ . Razem $0<x<4$ .

b) Ujemność daje $x<0$ , a $|x|\le4$ daje $-4\le x\le4$ . Razem $-4\le x<0$ .

c) Nieujemność daje $x\ge0$ , a $|x|>\frac52$ . Pozostaje $x>\frac52$ .

d) Niedodatniość daje $x\le0$ , a $|x|\ge\sqrt2$ . Pozostaje $x\le-\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $(0;4)$ .
b) $[-4;0)$ .
c) $\left(\frac52;\infty\right)$ .
d) $(-\infty;-\sqrt2]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Przekładamy cztery warunki odległości od wskazanego środka na odpowiednie przedziały i ich ilustracje na osi.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $|x-1|<2$ , więc $-2<x-1<2$ , a stąd $-1<x<3$ .

b) $|x+1|<3$ , więc $-3<x+1<3$ , a stąd $-4<x<2$ .

c) $|x-3|\le2$ , więc $-2\le x-3\le2$ , a stąd $1\le x\le5$ .

d) $\left|x+\frac14\right|\le\frac32$ , więc

$-\frac32\le x+\frac14\le\frac32,$

czyli $-\frac74\le x\le\frac54$ .

Odpowiedź

a) $(-1;3)$ .
b) $(-4;2)$ .
c) $[1;5]$ .
d) $\left[-\frac74;\frac54\right]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Sprawdzamy tutaj, jak dla czterech przedziałów uwzględnić rodzaj każdego końca i wypisać wszystkie zawarte w nich liczby całkowite.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Szukamy liczb całkowitych spełniających $-1\le x<4$ .

b) Szukamy liczb całkowitych spełniających $0<x<6$ .

c) Ponieważ $-\frac23\approx-0{,}67$ i $\frac52=2{,}5$ , możliwe są $0,1,2$ .

d) Ponieważ $-\frac{25}{4}=-6{,}25$ , szukamy liczb całkowitych od $-6$ do $-2$ włącznie.

Odpowiedź

a) $-1,0,1,2,3$ .
b) $1,2,3,4,5$ .
c) $0,1,2$ .
d) $-6,-5,-4,-3,-2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem