NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 70 — rozwiązania zadań

Zadanie 7

Najważniejsze jest, aby rozmieścić liczby od 1 do 10 w obszarach diagramu trzech zbiorów, a potem obliczyć rozbudowany zestaw sum, różnic i dopełnień.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozmieszczamy elementy, zaczynając od przecięć. W części potrójnej są $1,2$ , tylko w $A\cap B$ jest $3$ , tylko w $B\cap C$ jest $6$ , a część $(A\cap C)\setminus B$ jest pusta. Dalej: tylko w $A$ leżą $4,9$ , tylko w $B$ — $7,8$ , tylko w $C$ — $5$ , a poza trzema zbiorami — $10$ .

Dopełnienia w punkcie d) liczymy względem $U$ :

A'=\{5,6,7,8,10\},\quad B'=\{4,5,9,10\},\quad C'=\{3,4,7,8,9,10\}.

Następnie wykonujemy wskazane sumy, iloczyny i różnice.

Odpowiedź

a)

\begin{aligned} A\cup B&=\{1,2,3,4,6,7,8,9\},\\ A\cup C&=\{1,2,3,4,5,6,9\},\\ A\setminus C&=\{3,4,9\},\\ B\setminus C&=\{3,7,8\}. \end{aligned}

b)

(A\setminus B)\cap C=\varnothing.$$ c) $$A\cup(B\cap C)=\{1,2,3,4,6,9\},\qquad (A\cup B)\cap C=\{1,2,6\}.$$ d)

\begin{aligned} A'\cap B'&={5,10},\ A'\cup C'&={3,4,5,6,7,8,9,10},\ A'\cup B'\cup C'&={3,4,5,6,7,8,9,10}. \end{aligned}

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

Uczymy się tutaj, jak uzupełnić diagram preferencji zup metodą włączeń i wyłączeń oraz policzyć uczniów lubiących zero, dokładnie jeden albo dokładnie dwa rodzaje.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Oznaczmy zbiory osób lubiących zupy pomidorową, szczawiową i grochową przez $P,S,G$ . Liczby podane dla dwóch zup zawierają także $10$ osób lubiących wszystkie trzy, dlatego w częściach należących dokładnie do dwóch zbiorów jest:

|P\cap G\setminus S|=20,\quad |S\cap G\setminus P|=10.$$ W częściach należących tylko do jednego zbioru otrzymujemy:

|P\text{ tylko}|=130-30-20-10=70,

|S\text{ tylko}|=110-30-10-10=60,

|G\text{ tylko}|=80-20-10-10=40.

Co najmniej jedną zupę lubi $70+60+40+30+20+10+10=240$ uczniów.

Odpowiedź

a) Żadnej zupy nie lubi $300-240=60$ uczniów.
b) Dokładnie jedną zupę lubi $70+60+40=170$ uczniów.
c) Dokładnie dwie zupy lubi $30+20+10=60$ uczniów.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

Sedno zadania polega na tym, by z danych o posiadaniu psa, kota i świnek morskich oraz liczbie uczniów bez zwierząt wyznaczyć liczebność wspólnej grupy właścicieli psa i kota.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zwierzęta ma $30-8=22$ uczniów. Trzy osoby mające świnki morskie nie mają psa ani kota, zatem psa lub kota ma $22-3=19$ osób.

Jeśli $x$ uczniów ma jednocześnie psa i kota, to z zasady włączeń i wyłączeń

$14+9-x=19.$

Stąd $x=4$ .

Odpowiedź

Jednocześnie psa i kota ma $4$ uczniów.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

Spróbujmy tutaj porównać diagramy dopełnień sumy i części wspólnej trzech zbiorów, a następnie samodzielnie odkryć odpowiednie prawa de Morgana.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na diagramie $(A\cup B\cup C)'$ zacieniony jest obszar leżący poza wszystkimi trzema kołami. Dokładnie ten sam obszar opisuje $A'\cap B'\cap C'$ , bo jego punkty nie należą ani do $A$ , ani do $B$ , ani do $C$ .

Z kolei $(A\cap B\cap C)'$ obejmuje cały zbiór uniwersalny z wyjątkiem części wspólnej wszystkich trzech kół. Ten sam obszar otrzymujemy jako $A'\cup B'\cup C'$ : wystarczy nie należeć przynajmniej do jednego z trzech zbiorów.

Odpowiedź

Prawa de Morgana dla trzech zbiorów mają postać

(A\cup B\cup C)'=A'\cap B'\cap C',

(A\cap B\cap C)'=A'\cup B'\cup C'.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem