NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 69 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Skupiamy się na tym, jak z diagramu Venna odczytać zbiory A i B, a potem wyznaczyć ich sumę, część wspólną oraz różnice w obu kierunkach.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z diagramu odczytujemy: tylko do $A$ należą $k,l,m$ , do obu zbiorów $n,o$ , a tylko do $B$ — $p,q,r,s$ . Suma zawiera wszystkie te elementy, iloczyn tylko część wspólną, a różnice tylko odpowiednie części własne.

Odpowiedź

\begin{aligned} A\cup B&=\{k,l,m,n,o,p,q,r,s\},\\ A\cap B&=\{n,o\},\\ A\setminus B&=\{k,l,m\},\\ B\setminus A&=\{p,q,r,s\}. \end{aligned}

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Należy tutaj dla trzech par zbiorów liczbowych obliczyć sumę, przecięcie i obie różnice, uwzględniając także relację między naturalnymi i całkowitymi.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wspólne są $-1$ i $1$ . Po ich wydzieleniu otrzymujemy odpowiednie różnice, a suma zawiera wszystkie elementy obu zbiorów.

b) Ponieważ $\sqrt4=2$ , mamy $B=\{0,1,\sqrt2,2\}$ . Wspólne z $A$ są $1$ i $2$ .

c) Zachodzi $\mathbb N\subset\mathbb Z$ . Dlatego suma jest równa $\mathbb Z$ , iloczyn $\mathbb N$ , a w $\mathbb Z\setminus\mathbb N$ pozostają ujemne liczby całkowite.

Odpowiedź

a) $A\cup B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ , $A\cap B=\{-1,1\}$ , $A\setminus B=\{-2,0,2\}$ , $B\setminus A=\{-3,3\}$ .

b) $A\cup B=\left\{0,\frac12,1,\sqrt2,2,4\right\}$ , $A\cap B=\{1,2\}$ , $A\setminus B=\left\{\frac12,4\right\}$ , $B\setminus A=\{0,\sqrt2\}$ .

c) $A\cup B=\mathbb Z$ , $A\cap B=\mathbb N$ , $A\setminus B=\varnothing$ , $B\setminus A=\{-1,-2,-3,\ldots\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz znaleźć elementy należące jednocześnie do trzech jawnie podanych zbiorów i powiązać wynik z centralnym obszarem diagramu Venna.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw przecinamy $A$ i $B$ :

$A\cap B=\{3,5,7\}.$

Spośród tych liczb do $C$ należą $5$ i $7$ .

Odpowiedź

$A\cap B\cap C=\{5,7\}.$

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Głównym celem jest to, by utworzyć zbiory spółgłosek trzech nazw działów matematyki, a następnie wykonać na nich serię przecięć, różnic i sum.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wypisujemy różne spółgłoski występujące w każdym słowie:

$A=\{r,t,m,k\},\qquad B=\{g,m,t,r\},\qquad C=\{l,g,b,r\}.$

Następnie bierzemy elementy wspólne albo usuwamy elementy drugiego zbioru, zgodnie z wykonywanym działaniem.

Odpowiedź

a) $\{m,r,t\}$ ,
b) $\{k\}$ ,
c) $\{g\}$ ,
d) $\{g,r\}$ ,
e) $\{m,t\}$ ,
f) $\{b,l\}$ ,
g) $\{r\}$ ,
h) $\{b,g,k,l,m,r,t\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Dopasowujemy trzy wyrażenia z działaniami na zbiorach do diagramów, rozpoznając dokładnie zaznaczone obszary przecięć i różnic.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $(A\cap B)\setminus C$ jest częścią wspólną $A$ i $B$ leżącą poza $C$ . Taki obszar zacieniowano na diagramie II.

b) $C\setminus(A\cup B)$ jest częścią $C$ poza oboma pozostałymi kołami. To diagram III.

c) $(A\cap C)\cup(B\cap C)=C\cap(A\cup B)$ obejmuje obie części przecięcia koła $C$ z kołami $A$ lub $B$ , również część potrójną. To diagram I.

Odpowiedź

a) II, b) III, c) I.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

W ramach ćwiczenia trzeba na osobnych diagramach zilustrować cztery pary złożonych działań na zbiorach i porównać obszary, odkrywając odpowiadające im tożsamości.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdą parę można porównać, zapisując przynależność elementu $x$ .

a) $x\in A\cup(B\cap C)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in A$ lub jednocześnie $x\in B$ i $x\in C$ . Jest to równoważne warunkowi $(x\in A\text{ lub }x\in B)$ i $(x\in A\text{ lub }x\in C)$ .

b) Analogicznie rozdzielamy iloczyn względem sumy.

c) Korzystając z $B\setminus C=B\cap C'$ :

=(A\cap B)\setminus(A\cap C).$$ d) Oba wyrażenia opisują elementy należące do $B$, ale nienależące ani do $A$, ani do $C$: $$B\setminus(A\cup C)=B\cap A'\cap C' =(A\cup B)\setminus(A\cup C).$$

Odpowiedź

W każdym podpunkcie porównywane zbiory są równe:

\begin{aligned} A\cup(B\cap C)&=(A\cup B)\cap(A\cup C),\\ A\cap(B\cup C)&=(A\cap B)\cup(A\cap C),\\ A\cap(B\setminus C)&=(A\cap B)\setminus(A\cap C),\\ B\setminus(A\cup C)&=(A\cup B)\setminus(A\cup C). \end{aligned}

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem