NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 65

a) Ponieważ $\mathbb N$ zawiera zero,

$A=\{0,1,2,3,4,5\},\qquad B=\{0,1,2,3,4,5,6\}.$

Zatem $A\subset B$.

b) Mamy

B=\{-4,-3,-2,2,3,4\},$$ więc ponownie $A\subset B$. c) Równanie w liczbach całkowitych daje $A=\{-7,7\}$, natomiast w liczbach naturalnych $B=\{7\}$. Stąd $B\subset A$.

a) Dodatnie dzielniki liczby $6$ to $1,2,3,6$, a liczby $15$ to $1,3,5,15$. Oba zbiory mają po $4$ elementy.

b) Liczba $36=2^2\cdot3^2$ ma $(2+1)(2+1)=9$ dodatnich dzielników. Liczba $48=2^4\cdot3$ ma $(4+1)(1+1)=10$ dodatnich dzielników.

c) Wśród liczb naturalnych mniejszych od $100$ jest $50$ wielokrotności $2$, $20$ wielokrotności $5$ i $10$ wspólnych wielokrotności $10$. Zatem

$|A|=50+20-10=60.$

Analogicznie jest $34$ wielokrotności $3$, $25$ wielokrotności $4$ i $9$ wspólnych wielokrotności $12$, więc

$|B|=34+25-9=50.$

a) Każdy element zbioru $B$ należy do $A$, ale na przykład $1\in A$ i $1\notin B$. Zatem $B\subset A$, a zależność odwrotna nie zachodzi.

b) Z warunku $x^2\le16$ otrzymujemy

$B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}.$

Wszystkie elementy $A$ należą do $B$, natomiast $-3\in B\setminus A$. Stąd $A\subset B$ i $B\not\subset A$.

c) Równanie $x^2=12$ ma rozwiązania $x=\pm2\sqrt3$, więc $A=\{-2\sqrt3,2\sqrt3\}=B$. Przy przyjętej w podręczniku definicji podzbioru zachodzą obie zależności.

a) Podzbiory grupujemy według ich liczby elementów:

\{2,3\},\ \{1,2,3\}.$$ Jest ich $1+3+3+1=8=2^3$. b) Otrzymujemy

\begin{aligned} &\varnothing,\ &{1},{2},{3},{4},\ &{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},\ &{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},\ &{1,2,3,4}. \end{aligned}

Jest ich $1+4+6+4+1=16=2^4$.

Aby wykazać, że jeden zbiór nie jest podzbiorem drugiego, wystarczy wskazać jeden element pierwszego zbioru, który nie należy do drugiego.

a) Na przykład $-1\in\mathbb Z$, lecz $-1\notin\mathbb N$.

b) Na przykład $\sqrt2\in\mathbb R$, lecz $\sqrt2\notin\mathbb Q$.

a) Z nierówności $2<n^3<125$ otrzymujemy $A=\{2,3,4\}$. Naturalne dzielniki $125$ tworzą zbiór $B=\{1,5,25,125\}$. Zatem $|A|=3$, $|B|=4$, a liczby podzbiorów są równe odpowiednio $2^3=8$ i $2^4=16$.

b) Warunek $2<k^2<15$ spełniają liczby $-3,-2,2,3$, więc $|A|=4$. Warunek $1<k^4<75$ spełniają tylko $-2,2$, więc $|B|=2$. Liczby podzbiorów wynoszą odpowiednio $16$ i $4$.