NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 62
rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym” · 10 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz z rozkładów na czynniki pierwsze wyznaczyć dwie najmniejsze wspólne wielokrotności, obliczyć ich iloraz i zaokrąglić wynik.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z rozkładów na czynniki pierwsze: [ x=\operatorname{NWW}(a,b)=3^2\cdot5^3\cdot7\cdot11^2\cdot13, ] [ y=\operatorname{NWW}(a,c)=3\cdot5^3\cdot11^2\cdot13^2. ] Zatem [ \frac yx=\frac{13}{3\cdot7}=\frac{13}{21}\approx0{,}619047. ] Po zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku otrzymujemy (0{,}62).
(\frac yx\approx0{,}62).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Głównym celem jest to, by uprościć rozbudowany iloraz potęg x i y, po czym obliczyć jego wartość dla danych pierwiastków różnych stopni.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Najpierw upraszczamy potęgi: [ \frac{x^{-1}y^4(x^{-1}y)^3}{(x^2y^{-1})^{-1}x^2y^2} =\frac{x^{-4}y^7}{(x^{-2}y)x^2y^2} =\frac{x^{-4}y^7}{y^3}=x^{-4}y^4. ] Ponieważ (x=2^{2/3}) i (y=2^{1/6}), mamy [ x^{-4}y^4=2^{-8/3}2^{4/6} =2^{-8/3+2/3}=2^{-2}=\frac14=0{,}25. ]
Wartość wyrażenia jest równa (\frac14=0{,}25).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Pracujemy tutaj nad tym, jak zamienić rozwinięcie dziesiętne okresowe 1,(54) na ułamek zwykły i skrócić go do postaci nieskracalnej.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (x=1,(54)=1{,}545454\ldots). Wtedy [ 100x=154{,}545454\ldots ] i po odjęciu stronami: [ 100x-x=154{,}545454\ldots-1{,}545454\ldots, ] czyli (99x=153). Zatem [ x=\frac{153}{99}=\frac{17}{11}. ]
(1,(54)=\frac{17}{11}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Wykazujemy podzielność iloczynu dowolnych pięciu kolejnych liczb naturalnych przez 120, analizując niezbędne czynniki pierwsze.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozważmy pięć kolejnych liczb naturalnych. Wśród nich jest liczba podzielna przez (5) i liczba podzielna przez (3). Są też co najmniej dwie liczby parzyste, a jedna z nich jest podzielna przez (4), więc ich iloczyn zawiera czynnik (8). Ponieważ liczby (3), (5) i (8) są parami względnie pierwsze, iloczyn jest podzielny przez [ 3\cdot5\cdot8=120. ] Jeżeli jednym z czynników jest (0), teza również zachodzi.
Iloczyn każdych pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez (120).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 5
Najważniejsze jest, aby z wykładników w rozkładzie liczby na dwa czynniki pierwsze uzasadnić, że liczba jej dodatnich dzielników wynosi 96.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Każdy dodatni dzielnik liczby [ 7^{11}\cdot11^7 ] ma jednoznaczną postać (7^i11^j), gdzie [ i\in{0,1,\ldots,11},\qquad j\in{0,1,\ldots,7}. ] Dla wykładnika (i) jest (12) możliwości, a dla (j) — (8). Liczba dzielników wynosi więc [ 12\cdot8=96. ]
Liczba (7^{11}\cdot11^7) ma dokładnie (96) różnych dodatnich dzielników.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 6
Uczymy się tutaj, jak powiązać dwie przekątne sześcianu i udowodnić, że wymierność przekątnej bryły wymusza niewymierność przekątnej podstawy.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (d=a\sqrt3) będzie długością przekątnej sześcianu. Z założenia (d\in\mathbb Q), a ponieważ (a>0), również (d\ne0). Długość przekątnej podstawy jest równa [ a\sqrt2=\frac{d}{\sqrt3}\sqrt2 =\frac d3\sqrt6. ] Liczba (\sqrt6) jest niewymierna, a jej iloczyn przez niezerową liczbę wymierną (\frac d3) także jest niewymierny. Teza została wykazana.
Jeżeli (a\sqrt3) jest wymierne, to (a\sqrt2=\frac{a\sqrt3}{3}\sqrt6) jest niewymierne.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 7
Sedno zadania polega na tym, by zapisać a, b i c jako trzy kolejne potęgi liczby 3, a następnie wykazać podzielność ich sumy przez 13.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech te trzy kolejne logarytmy będą równe (n,n+1,n+2), gdzie (n\in\mathbb N). W pewnej kolejności otrzymujemy więc [ a=3^n,\qquad b=3^{n+1},\qquad c=3^{n+2}. ] Suma nie zależy od tej kolejności i wynosi [ a+b+c=3^n(1+3+9)=13\cdot3^n. ] Jest zatem podzielna przez (13).
(a+b+c=13\cdot3^n), więc liczba ta jest podzielna przez (13).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 8
Spróbujmy tutaj przeprowadzić dowód nie wprost: z wymierności niezerowego iloczynu a i pierwiastka z 2 wywnioskować niewymierność liczby a.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Załóżmy przeciwnie, że (a) jest wymierne. Z warunku (a\sqrt2\ne0) wynika (a\ne0). Iloraz dwóch liczb wymiernych (a\sqrt2) i (a) byłby wtedy wymierny, tymczasem [ \frac{a\sqrt2}{a}=\sqrt2 ] jest liczbą niewymierną. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że (a) jest niewymierne.
Liczba (a) musi być niewymierna.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 9.1
Podczas tego ćwiczenia trzeba wykorzystać niezmienną sumę cyfr wszystkich permutacji cyfr 1, 2, 3, 4 i uzasadnić jednakową resztę 1 przy dzieleniu przez 9.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Każda rozważana liczba ma cyfry (1,2,3,4), więc suma jej cyfr jest równa [ 1+2+3+4=10. ] Liczba i suma jej cyfr dają tę samą resztę z dzielenia przez (9). Ponieważ (10\equiv1\pmod9), każda z tych liczb daje resztę (1).
Każda utworzona liczba jest przystająca do (1) modulo (9), więc daje resztę (1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 9.2
Analizujemy tutaj, jak za pomocą reszt modulo 9 wykazać, że żadnej czterocyfrowej permutacji cyfr 1, 2, 3, 4 nie da się otrzymać jako sumy trzech pozostałych.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z zadania 9.1 każda z rozważanych liczb jest przystająca do (1) modulo (9). Suma dowolnych trzech takich liczb spełnia więc [ 1+1+1\equiv3\pmod9. ] Nie może być ona równa żadnej rozważanej liczbie, ponieważ ta dawałaby resztę (1), a nie (3), z dzielenia przez (9).
Żadna z utworzonych liczb nie jest sumą trzech liczb z tego zbioru.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu