NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 61

Mamy (2,(5)=\frac{23}{9}) oraz (1,(4)=\frac{13}{9}). Zatem [ a=\frac{13}{5}-\frac{23}{9} =\frac{117-115}{45}=\frac2{45}>0. ] Ponadto [ \left(\frac{13}{9}\right)^2=\frac{169}{81}>2, ] więc (\frac{13}{9}>\sqrt2), a stąd (b=\sqrt2-\frac{13}{9}<0). Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny.

Szukane liczby tworzą ciąg [ 14,20,26,\ldots,98. ] Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy (6), więc liczba jego wyrazów wynosi [ \frac{98-14}{6}+1=15. ]

Liczba podzielna przez (3) i (4) jest podzielna przez (\operatorname{NWW}(3,4)=12). Najmniejszą trzycyfrową wielokrotnością (12) jest (108=12\cdot9), a największą (996=12\cdot83). Zatem liczba takich wielokrotności wynosi [ 83-9+1=75. ]

Wśród liczb od (100) do (999) jest [ \left\lfloor\frac{999}{4}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{99}{4}\right\rfloor=249-24=225 ] wielokrotności (4) oraz [ \left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{99}{5}\right\rfloor=199-19=180 ] wielokrotności (5). Wielokrotności obu liczb, czyli wielokrotności (20), policzyliśmy dwukrotnie; jest ich [ 49-4=45. ] Z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy (225+180-45=360).

Przyprostokątne mają długości [ 2\sqrt{27}=6\sqrt3,\qquad 4\sqrt{12}=8\sqrt3. ] Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość [ \sqrt{(6\sqrt3)^2+(8\sqrt3)^2} =\sqrt{108+192}=\sqrt{300}=10\sqrt3. ] Obwód wynosi więc ((6+8+10)\sqrt3=24\sqrt3).

Pole trójkąta prostokątnego wynosi [ P=\frac12\cdot6\sqrt3\cdot8\sqrt3=72. ] Pole kwadratu jest równe (a^2), zatem [ a^2=72,\qquad a=\sqrt{72}=6\sqrt2, ] gdzie wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ (a) jest długością.

Początkowa cena netto wynosiła [ 307{,}50:1{,}23=250\ \text{zł}. ] Po obniżce podatek (51{,}75) zł stanowił (23%) ceny netto, więc nowa cena netto była równa [ 51{,}75:0{,}23=225\ \text{zł}. ] Zmniejszenie ceny netto to (250-225=25) zł.

Niech początkowa cena wynosi (C). Po obniżce pozostaje (0{,}4C). Warunek powrotu do ceny początkowej daje [ 0{,}4C\left(1+\frac{p}{100}\right)=C. ] Po podzieleniu przez (0{,}4C) otrzymujemy [ 1+\frac{p}{100}=2{,}5, ] zatem (p=150).

Obliczamy [ x=\left(\frac7{15}\right):\left(\frac7{20}\right)=\frac43. ] Ponadto [ y=\left(\frac32\right)^{-2}\cdot8\cdot\frac13 =\frac49\cdot8\cdot\frac13=\frac{32}{27}. ] Ponieważ (x=\frac{36}{27}), różnica wynosi (\frac4{27}). Jej stosunek do (y) jest równy [ \frac{4/27}{32/27}=\frac18=12{,}5%. ]

Wydajność trzech kranów razem wynosi (\frac14) basenu na godzinę. Wydajność kranu (C) jest więc równa [ \frac14-\frac1{10}-\frac1{12} =\frac{15-6-5}{60}=\frac1{15} ] basenu na godzinę. Sam kran (C) potrzebuje zatem (15) godzin na napełnienie basenu.

Oznaczmy (\sqrt5) przez (r). Rozwijamy iloczyny: [ b=(2-r)(1-2r)=2-5r+2r^2=12-5\sqrt5, ] [ c=(-2+r)(11+2r)=-22+7r+2r^2=-12+7\sqrt5. ] Stąd [ b+c=2\sqrt5,\qquad \sqrt a=\sqrt{45}=3\sqrt5. ] Zatem [ \frac{\sqrt a}{b+c}=\frac{3\sqrt5}{2\sqrt5}=\frac32, ] czyli otrzymana liczba jest wymierna.