NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 60
rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 5 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 16.1
Tutaj należy obliczyć lub sklasyfikować siedem liczb z pierwiastkami i ocenić stwierdzenia o liczbie wartości ujemnych oraz niewymiernych.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Upraszczamy liczby, dla których jest to możliwe: [ \sqrt[3]{64}=4,\quad \sqrt[3]{(-17)^3}=-17,\quad \sqrt{121}=11,\quad \sqrt{\frac{169}{9}}=\frac{13}{3},\quad \sqrt{(-2)^2}=2. ] Ujemna jest tylko liczba (-17), więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Niewymierne są dokładnie (\sqrt{11}) i (\sqrt8=2\sqrt2), więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe.
FP.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 16.2
Celem ćwiczenia jest to, by uporządkować siedem podanych liczb z pierwiastkami, wyłonić dwie najmniejsze wartości i obliczyć ich sumę.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Spośród podanych liczb najmniejsza jest [ \sqrt[3]{(-17)^3}=-17. ] Najmniejszą z pozostałych jest (\sqrt{(-2)^2}=2), ponieważ wszystkie pozostałe liczby są większe od (2). Ich suma wynosi [ -17+2=-15. ]
Suma dwóch najmniejszych liczb jest równa (-15).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 17
W tym przykładzie trzeba z nierówności opisujących x i y wywnioskować znak iloczynu liczby x powiększonej o jeden oraz liczby y i dobrać uzasadnienie.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z nierówności (x<-1) wynika (x+1<0). Z warunku (x<y<0) mamy również (y<0). Oba czynniki iloczynu [ (x+1)y ] są więc ujemne, a ich iloczyn jest dodatni.
Poprawna odpowiedź: A3.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 18.1
Trzeba tu uprościć pierwiastki w liczbach a i b, a następnie rozstrzygnąć, czy ich suma jest wymierna, wraz z właściwym uzasadnieniem.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Upraszczamy pierwiastki: [ \sqrt{48}=4\sqrt3,\qquad \sqrt{108}=6\sqrt3. ] Zatem [ a+b=(6-12\sqrt3)+(8+12\sqrt3)=14. ] Suma jest wymierna właśnie dlatego, że jest równa (14).
Poprawna odpowiedź: A3.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 18.2
Zadanie sprawdza, czy potrafisz pomnożyć dwie liczby zawierające pierwiastki, uprościć wynik przez redukcję podobnych składników i wybrać zgodną postać.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po uproszczeniu pierwiastków mamy [ a=6-12\sqrt3,\qquad b=8+12\sqrt3. ] Wobec tego [ ab=(6-12\sqrt3)(8+12\sqrt3) =48-24\sqrt3-432 =-384-24\sqrt3 =-24(16+\sqrt3). ]
Poprawna odpowiedź: B, czyli (-24(16+\sqrt3)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem