NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 59
rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 6 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 10
Sedno zadania polega na tym, by zapisać sumę czterech jednakowych potęg dwójki jako jedną potęgę i wybrać równoważną postać.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Cztery jednakowe składniki zapisujemy jako iloczyn: [ 2^{15}+2^{15}+2^{15}+2^{15} =4\cdot2^{15}=2^2\cdot2^{15}=2^{17}. ]
Poprawna odpowiedź: D, czyli (2^{17}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 11
Spróbujmy tutaj pomnożyć dwie liczby zapisane w notacji wykładniczej, znormalizować współczynnik i rozpoznać poprawny wynik.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Mnożymy współczynniki i potęgi liczby (10): [ (6{,}4\cdot10^8)(8{,}5\cdot10^{-3}) =54{,}4\cdot10^5 =5{,}44\cdot10^6. ]
Poprawna odpowiedź: C, czyli (5{,}44\cdot10^6).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 12
Ustalamy relację między wartością początkową a końcową po obniżce o 20% i następującej po niej podwyżce o 20%.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z danych wynika [ b=0{,}8a,\qquad c=1{,}2b. ] Zatem (c=1{,}2\cdot0{,}8a=0{,}96a=\frac{24}{25}a), skąd [ a=\frac{25}{24}c=1\frac1{24}c. ]
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 13
Analizujemy tutaj, jak obliczyć rozbudowane wyrażenie wymierne, a potem ocenić dwa stwierdzenia dotyczące znaku oraz rodzaju otrzymanej liczby.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Pierwszy nawias ma wartość [ 2\left(-\frac{10}{3}\right)-7:\frac{21}{5} =-\frac{20}{3}-\frac53=-\frac{25}{3}. ] W liczniku małego ułamka otrzymujemy [ -\frac{17}{8}+\frac58\cdot\frac45=-\frac{17}{8}+\frac12=-\frac{13}{8}, ] a w mianowniku [ -2+\frac{10}{9}\cdot(-6)=-2-\frac{20}{3}=-\frac{26}{3}. ] Mały ułamek jest więc równy [ \frac{-13/8}{-26/3}=\frac3{16}. ] Całe wyrażenie ma wartość [ -\frac{25}{3}:\frac3{16}=-\frac{400}{9}. ] Jest to liczba ujemna, wymierna i niecałkowita.
Oba stwierdzenia są fałszywe: FF.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 14
Rozważamy tutaj, jak uprościć osiem wyrażeń z pierwiastkami i wybrać dokładnie dwa, w których części niewymierne redukują się do wartości wymiernej.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W odpowiedzi C: [ \sqrt8(\sqrt{18}+\sqrt{50}) =2\sqrt2(3\sqrt2+5\sqrt2)=32. ] W odpowiedzi E: [ \sqrt{12}(\sqrt{48}+\sqrt{27}) =2\sqrt3(4\sqrt3+3\sqrt3)=42. ] Pozostałe wyrażenia po uproszczeniu zawierają niezerowy składnik z niewymiernym pierwiastkiem, więc nie są wymierne.
Poprawne odpowiedzi: C i E.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 15
Zadanie pokazuje, jak obliczyć zestaw sum i różnic logarytmów przy podstawach 2 i 4 oraz wskazać dokładnie dwa wyrażenia równe 2.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Korzystamy z wartości (\log_2 8=3), (\log_2 2=1), (\log_4 8=\frac32) i (\log_4 2=\frac12). Stąd [ \text{D}=\log_2 8-\log_2 2=3-1=2, ] oraz [ \text{H}=\log_4 8+\log_4 2=\frac32+\frac12=2. ] Pozostałe odpowiedzi mają wartości różne od (2).
Poprawne odpowiedzi: D i H.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem