NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 58
rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 9 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Twoim celem jest to, by spośród czterech liczb wybrać tę podzielną jednocześnie przez 3 i 5, korzystając z cech podzielności zamiast pełnego dzielenia.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Liczba podzielna przez (15) musi być podzielna jednocześnie przez (5) i przez (3). W odpowiedzi D ostatnią cyfrą jest (0), a suma cyfr wynosi [ 2+3+4+2+0+3+4+0=18, ] czyli jest podzielna przez (3). Pozostałe liczby nie spełniają obu warunków naraz.
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Skupiamy się na tym, jak obliczyć wartość wyrażenia z ułamkiem dziesiętnym, pierwiastkiem i potęgą, a następnie wskazać jej odwrotność.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Najpierw obliczamy liczbę, której odwrotność jest szukana: [ \frac{0{,}25-\sqrt{\frac9{16}}}{-3^2:3} =\frac{\frac14-\frac34}{-9:3} =\frac{-\frac12}{-3} =\frac16. ] Liczbą odwrotną do (\frac16) jest (6).
Poprawna odpowiedź: A, czyli (6).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Należy tutaj oszacować wyrażenie zawierające liczbę pi i wybrać najmniejszą liczbę całkowitą, która jest od niego większa.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Korzystając z (\pi\approx3{,}1416), otrzymujemy [ 6-2\pi\approx6-6{,}2832=-0{,}2832. ] Liczba leży między (-1) i (0), więc najmniejszą większą od niej liczbą całkowitą jest (0).
Poprawna odpowiedź: B, czyli (0).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz uprościć cztery wyrażenia z pierwiastkami i rozpoznać jedyne, którego wartość jest liczbą wymierną.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Upraszczamy odpowiedzi: [ \text{A}=\sqrt6-2,\qquad \text{B}=\sqrt3-1,\qquad \text{C}=\sqrt5+1. ] Każda z tych liczb jest niewymierna. Natomiast [ \text{D}=\frac{\sqrt2\sqrt3}{\sqrt{54}} =\frac{\sqrt6}{3\sqrt6}=\frac13, ] więc jest wymierna.
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Głównym celem jest to, by uprościć iloraz iloczynu pierwiastków sześciennych i wskazać jego wartość wśród czterech propozycji.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Łączymy pierwiastki sześcienne: [ \frac{\sqrt[3]{-16}\cdot\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{-4}} =\sqrt[3]{\frac{(-16)^2}{-4}} =\sqrt[3]{-64}=-4. ]
Poprawna odpowiedź: C, czyli (-4).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Wykorzystujemy wyłączanie wspólnej potęgi i prawa działań na wykładnikach do uproszczenia jednego ułamka algebraicznego.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wyłączamy (5^5) w liczniku i upraszczamy mianownik: [ \frac{5^5\cdot3+2\cdot5^5}{5^6:5^2} =\frac{5^5(3+2)}{5^4} =\frac{5^6}{5^4}=5^2=25. ]
Poprawna odpowiedź: C, czyli (25).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
W ramach ćwiczenia trzeba odczytać wykładnik, do którego należy podnieść 8, by otrzymać 4, i na tej podstawie obliczyć wskazany logarytm.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ponieważ (8=2^3) i (4=2^2), mamy [ \log_8 4=\log_{2^3}2^2=\frac23. ]
Poprawna odpowiedź: C, czyli (\frac23).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
Odtwarzamy pełną cenę karnetu, wiedząc, że ulgowy wariant kosztuje 60 zł i stanowi 60% ceny normalnej.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (x) oznacza cenę karnetu normalnego. Z warunku zadania [ 0{,}6x=60, ] zatem (x=60:0{,}6=100).
Poprawna odpowiedź: B, czyli (100) zł.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
Uczymy się tutaj, jak odróżnić wzrost o jeden punkt procentowy od względnego wzrostu stopy i obliczyć zmianę oprocentowania z 4% do 5%.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wzrost wyniósł (5%-4%=1) punkt procentowy. Względem poprzedniej wartości oprocentowania jest to [ \frac{1%}{4%}\cdot100%=25%. ]
Poprawna odpowiedź: B, czyli wzrost o (25%).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem