NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 56

Niech (p) oznacza liczbę mieszkańców jednego piętra. Wtedy (p) jest wspólnym dzielnikiem liczb (420), (462) i (504). Ponieważ najwyższy budynek ma najwyżej (15) pięter, [ p\ge \frac{504}{15}=33{,}6. ] Mamy [ \operatorname{NWD}(420,462,504)=42. ] Jedynym wspólnym dzielnikiem nie mniejszym niż (34) jest więc (42). Liczby pięter wynoszą kolejno [ 420:42=10,\qquad 462:42=11,\qquad 504:42=12. ]

W ciągu sekundy zużywa się (600) milionów ton, czyli (6\cdot10^8) ton wodoru. Czas wyczerpania zapasu w sekundach to [ \frac{1{,}49\cdot10^{27}}{6\cdot10^8} =\frac{1{,}49}{6}\cdot10^{19} \approx 2{,}483\cdot10^{18}\ \text{s}. ] Przyjmując (1) rok (=365\cdot24\cdot3600=3{,}1536\cdot10^7) s, otrzymujemy [ \frac{2{,}483\cdot10^{18}}{3{,}1536\cdot10^7} \approx 7{,}87\cdot10^{10}\ \text{lat}. ]

a) Podatek wynosi (0{,}23\cdot140=32{,}20) zł, więc cena brutto to [ 140+32{,}20=172{,}20\ \text{zł}. ] Udział podatku w cenie brutto jest równy [ \frac{32{,}20}{172{,}20}\cdot100%\approx18{,}7%. ]

b) Przy cenie brutto (151{,}20) zł podatek wynosi (151{,}20-140=11{,}20) zł. Stawka VAT to [ \frac{11{,}20}{140}\cdot100%=8%. ] Cena netto jest mniejsza od brutto o [ \frac{11{,}20}{151{,}20}\cdot100%\approx7{,}4%. ]

c) Przy stawce (5%) nowa cena brutto wynosi (140\cdot1{,}05=147) zł. Spadek względem (172{,}20) zł to [ \frac{172{,}20-147}{172{,}20}\cdot100%\approx14{,}6%. ]

Po roku kapitał pana Kowalskiego wynosi [ 5000\cdot1{,}0505=5252{,}50\ \text{zł}. ] Kapitał pana Nowaka jest kapitalizowany po każdym półroczu: [ 5000\cdot1{,}025^2=5253{,}125\ \text{zł}\approx5253{,}13\ \text{zł}. ] Ponieważ (5253{,}125>5252{,}50), większy kapitał zgromadził pan Nowak (o (0{,}625) zł, czyli po zaokrągleniu o (0{,}63) zł).

Przy corocznej kapitalizacji kapitał po trzech latach wynosi [ 4000\cdot1{,}04^3=4499{,}456\ \text{zł}\approx4499{,}46\ \text{zł}. ] Gdy odsetki nie są dopisywane do kapitału lokaty, każdego roku wynoszą [ 0{,}04\cdot4000=160\ \text{zł}. ] Po trzech latach klient miałby (4000+3\cdot160=4480) zł. Różnica to [ 4499{,}456-4480=19{,}456\ \text{zł}\approx19{,}46\ \text{zł}. ]

Niech (x) oznacza zainwestowaną kwotę. Kolejne zmiany odpowiadają mnożeniu przez (1{,}05), (0{,}955) i (1{,}06), zatem [ x\cdot1{,}05\cdot0{,}955\cdot1{,}06=2125{,}83. ] Iloczyn współczynników jest równy (1{,}062915), więc [ x=\frac{2125{,}83}{1{,}062915}=2000. ]