NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 55

a) Lewa strona ma postać $\frac54x^2-\frac{3\sqrt2}{4}x^2=\frac{x^2}{4}(5-3\sqrt2).$ Mamy $x^2\ge0$ oraz $5>3\sqrt2$, bo $25>18$, więc wyrażenie jest nieujemne.

b) Lewa strona jest równa $\frac43x^4-\frac1{10}x^4=\frac{37}{30}x^4.$ Wystarczy porównać współczynniki: $\frac{37}{30}\ge\frac{2\sqrt3}{3}$, ponieważ $37\ge20\sqrt3$ ($1369>1200$). Ponieważ $x^4\ge0$, nierówność zachodzi.

Z rozwinięć dziesiętnych: $x=0{,}8(3)=\frac56,\qquad y=1{,}(3)=\frac43.$ Stąd $\text{a)}\ \frac65+\frac34=\frac{39}{20},\qquad \text{b)}\ \frac{36}{25}+\frac9{16}=\frac{801}{400},$ $\text{c)}\ \frac65+\frac{16}{9}=\frac{134}{45},\qquad \text{d)}\ \frac{25}{36}-\frac9{16}=\frac{19}{144}.$

Upraszczamy potęgi, pamiętając o założeniach: $\text{a)}\ x^{5-7-6}=x^{-8},\quad x\ne0,$ $\text{b)}\ (-6y^{-1+3})^2=36y^4,\quad y\ne0,$ $\text{c)}\ (3z^2y^3)^2-z^4y^6=8z^4y^6,\quad y,z\ne0.$ W punkcie d) licznik to $t(s^2-t^2)$, a mianownik $s^2-t^2$, więc wynik to $t$. Musi być $s,t\ne0$ oraz $s\ne t$, $s\ne-t$.

Po uproszczeniu potęg:

a) $5y^2/x^2=5(\sqrt8/\sqrt2)^2=20$.

b) $(2x/y)^3=8x^3/y^3=\frac{\sqrt3}{6}$.

c) Wyrażenie redukuje się do $27x^8y^2$; dla $x=\sqrt3$, $y=1/9$ daje $27$.

d) Wyrażenie redukuje się do $xy^2$; $2^{1/4}(2^{3/8})^2=2$.

a) Po skróceniu: $u=2m-5+4t,\quad v=3t-7,\quad w=-\frac12m-\frac14t.$ Zatem $u+v+w=\frac32m+\frac{27}{4}t-12$.

b) $u=-16x+15,\quad v=12-17x,\quad w=-11x-3,$ więc $u+v+w=-44x+24$. W pierwszym punkcie $m,t\ne0$, a w drugim $x,y\ne0$.

Oddzielamy współczynniki od potęg $10$: $\text{a)}\ \frac{2{,}4\cdot7}{6\cdot3{,}5}10^{3+13-6-4}=8\cdot10^5,$ $\text{b)}\ \frac{25\cdot6}{1{,}5\cdot5}10^{-2-6-11+9}=2\cdot10^{-9},$ $\text{c)}\ \frac{1{,}2\cdot5{,}1}{1{,}7\cdot4{,}8}10^{8-5+7-7}=7{,}5\cdot10^2,$ $\text{d)}\ 0{,}00015:0{,}0006=0{,}25=2{,}5\cdot10^{-1}.$

Niech pięć kolejnych liczb nieparzystych ma postać $2n+1,\ 2n+3,\ 2n+5,\ 2n+7,\ 2n+9.$ Ich suma wynosi $k=10n+25=5(2n+5).$ Zatem $\frac{k}{5}=2n+5$ jest liczbą całkowitą.

Mamy $48=2^4\cdot3$. Warunek $\operatorname{NWD}(x,48)=8=2^3$ oznacza, że $x$ ma być podzielne przez $8$, ale nie przez $16$ ani przez $3$. Spośród dwucyfrowych wielokrotności $8$ warunek spełniają $40$, $56$ i $88$.

Z twierdzenia Pitagorasa przekątna ma długość $d=\sqrt{n^2+1}$. Dla $n\ge1$: $n^2<n^2+1<(n+1)^2,$ więc $n<d<n+1$ i $d$ nie jest całkowite. Pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej jest albo całkowity, albo niewymierny (wynika to z rozkładu licznika i mianownika skróconego ułamka na czynniki pierwsze). Zatem $d$ jest niewymierne.

Liczba $\frac{\sqrt2}{2}$ jest niewymierna i spełnia $0<\frac{\sqrt2}{2}<1$. Dla dowolnego $m\in\mathbb Z$ wybieramy $c=m+\frac{\sqrt2}{2}.$ Suma liczby całkowitej i niewymiernej jest niewymierna, a po dodaniu $m$ do powyższej nierówności otrzymujemy $m<c<m+1$.