NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 54 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Sedno zadania polega na tym, by policzyć dzielniki pięciu liczb naturalnych i wskazać spośród nich liczbę o największej oraz najmniejszej liczbie dzielników.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkłady na czynniki pierwsze dają liczby dzielników: $12=2^2\cdot3:\ 6,\quad50=2\cdot5^2:\ 6,\quad60=2^2\cdot3\cdot5:\ 12,$ $110=2\cdot5\cdot11:\ 8,\qquad123=3\cdot41:\ 4.$

Odpowiedź

Najwięcej dzielników ma $60$ (dwanaście), a najmniej $123$ (cztery).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Upraszczamy sześć wyrażeń potęgowych z wykładnikami całkowitymi, pierwiastkami i ułamkowymi podstawami, stosując prawa potęg.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy prawa działań na potęgach: $\text{a)}\ 4^{-6+5-(-2)}=4,$ $\text{b)}\ 3^{4-3-2}=3^{-1}=\frac13,$ $\text{c)}\ (3/2)^{-4}\frac{3^8}{2^9}=\frac{3^4}{2^5}=\frac{81}{32},$ $\text{d)}\ 10^4(5/4)^3 5^{-5}=\frac{25}{4},$ $\text{e)}\ 2^{-5}\cdot2^2\cdot2^9=64,$ $\text{f)}\ 3^4:3^{-3}\cdot(3^6)^{-2}=3^{-5}=\frac1{243}.$

Odpowiedź

a) $4$ , b) $\frac13$ , c) $2\frac{17}{32}$ , d) $6\frac14$ , e) $64$ , f) $\frac1{243}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Podczas tego ćwiczenia trzeba dokładnie obliczyć trzy rozbudowane wyrażenia z ułamkami i liczbami dziesiętnymi, a następnie rozstrzygnąć całkowitość wyników.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po zamianie liczb mieszanych i dziesiętnych na ułamki oraz wykonaniu działań otrzymujemy: $\text{a)}\ -1,\qquad \text{b)}\ \frac{374}{75},\qquad \text{c)}\ 2.$ Pierwsza i trzecia wartość są całkowite. W punkcie b) $75\nmid374$ , więc wynik nie jest całkowity.

Odpowiedź

a) jest całkowita ( $-1$ ); b) nie jest całkowita ( $\frac{374}{75}$ ); c) jest całkowita ( $2$ ).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz obliczyć logarytmy o podstawach większych i mniejszych od jedności, a następnie uporządkować cztery wartości w obu zestawach.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $a=6$ , $b=4$ , $c=5$ , $d=3$ , zatem $d<b<c<a$ .

b) $a=3$ , $b=-3$ , $c=-3$ , $d=-2$ , zatem $b=c<d<a$ .

Odpowiedź

a) $d<b<c<a$ ; b) $b=c<d<a$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

Głównym celem jest to, by najpierw obliczyć wartości czterech rozbudowanych wyrażeń ułamkowych, a potem znaleźć liczby mniejsze od nich o 20%.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczba o $20\%$ mniejsza stanowi $80\%=\frac45$ wartości wyrażenia. Po sprowadzeniu składników do ułamków zwykłych otrzymujemy:

$\text{a)}\ \frac{-105/32}{-7/4}=\frac{15}{8},\qquad \frac45\cdot\frac{15}{8}=\frac32,$ $\text{b)}\ \frac{1/3}{3/5}=\frac59,\qquad \frac45\cdot\frac59=\frac49,$ $\text{c)}\ \frac{-33/5}{-11/2}=\frac65,\qquad \frac45\cdot\frac65=\frac{24}{25},$ $\text{d)}\ \frac{11/12}{16/15}=\frac{55}{64},\qquad \frac45\cdot\frac{55}{64}=\frac{11}{16}.$

Odpowiedź

a) $\frac32$ , b) $\frac49$ , c) $\frac{24}{25}$ , d) $\frac{11}{16}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

Ustalamy procentową zmianę pola prostokąta po jednoczesnej modyfikacji długości obu boków w dwóch różnych wariantach.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech początkowe pole wynosi $ab$ .

a) Po skróceniu obu boków pole wynosi $0{,}8a\cdot0{,}8b=0{,}64ab$ , czyli maleje o $36\%$ .

b) Pole wynosi $0{,}9a\cdot1{,}1b=0{,}99ab$ , czyli maleje o $1\%$ .

Odpowiedź

a) Pole zmniejszyło się o $36\%$ . b) Pole zmniejszyło się o $1\%$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

W ramach ćwiczenia trzeba cofnąć trzy kolejne roczne wzrosty liczebności klubu o 20% i ustalić stan sprzed tego okresu na podstawie późniejszej liczby członków.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $x$ oznacza liczbę członków trzy lata temu. Do stanu sprzed roku prowadzą dwa roczne wzrosty: $x\cdot1{,}2^2=216.$ Stąd $x=216:1{,}44=150$ .

Odpowiedź

Trzy lata temu klub liczył $150$ członków.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

Najważniejsze jest, aby z łącznych odsetek dwóch lokat o różnych kapitałach i stopach oddalonych o dwa punkty procentowe wyznaczyć niższe oprocentowanie.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odsetki w banku $A$ wynoszą $30p$ zł, a w banku $B$ : $4000\cdot\frac{p+2}{100}=40p+80.$ Zatem $30p+40p+80=360$ , czyli $70p=280$ i $p=4$ .

Odpowiedź

Oprocentowanie w banku $A$ wynosiło $4\%$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

Uczymy się tutaj, jak powiększyć dwie podane liczby o niewielkie stawki promilowe i poprawnie przeliczyć promile na mnożnik zmiany.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dodajemy odpowiednią część promilową: $100(1+0{,}002)=100{,}2,$ $500(1+0{,}0016)=500{,}8.$

Odpowiedź

a) $100{,}2$ , b) $500{,}8$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem