NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 53 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Zadanie polega na tym, by dla kilku wskazanych dzielników znaleźć największe trzycyfrowe wielokrotności, wykorzystując dzielenie z resztą.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Największą wielokrotność $d$ nieprzekraczającą $999$ wyznaczamy jako $d\lfloor999/d\rfloor$ : $5\cdot199=995,\quad6\cdot166=996,\quad7\cdot142=994,$ $15\cdot66=990,\qquad45\cdot22=990.$

Odpowiedź

a) $995$ , b) $996$ , c) $994$ , d) $990$ , e) $990$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Warto tutaj obliczyć sześć złożonych wyrażeń na ułamkach i liczbach mieszanych, a następnie dla każdego wyniku podać liczbę przeciwną.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw obliczamy wartość wyrażenia, a potem zmieniamy jej znak: $\begin{aligned} \text{a)}&\ -3-\frac43=-\frac{13}{3}\ \Rightarrow\ \frac{13}{3},\\ \text{b)}&\ -\frac{13}{5}\cdot\frac{25}{8}+\frac18=-8\ \Rightarrow\ 8,\\ \text{c)}&\ \frac{14}{15}-\frac{13}{15}=\frac1{15}\ \Rightarrow\ -\frac1{15},\\ \text{d)}&\ -12\cdot\frac{52}{15}+\frac{7}{10}=-\frac{409}{10}\ \Rightarrow\ \frac{409}{10},\\ \text{e)}&\ \frac{15}{4}:\frac3{10}-\left(-\frac76:\frac75\right)=\frac{40}{3}\ \Rightarrow\ -\frac{40}{3},\\ \text{f)}&\ \frac{19}{4}:\left(-\frac{19}{12}\right)-\frac12=-\frac72\ \Rightarrow\ \frac72. \end{aligned}$

Odpowiedź

a) $4\frac13$ , b) $8$ , c) $-\frac1{15}$ , d) $40{,}9$ , e) $-13\frac13$ , f) $3\frac12$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Sprawdzamy tutaj, jak w każdej grupie uprościć wyrażenia z pierwiastkami, rozpoznać wartość niewymierną i wskazać jej część całkowitą od dołu.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Upraszczamy liczby wymierne i szacujemy pozostałe.

a) $14-\sqrt{196}=0$ , $2\sqrt{16}-\sqrt{36}=2$ , natomiast $4-\frac{2\sqrt3}{3}$ jest niewymierna i leży między $2$ a $3$ .

b) $\frac{\sqrt2}{\sqrt8}=\frac12$ , $\sqrt{12}\sqrt{75}=30$ , a $\sqrt{1\frac4{25}}=\frac{\sqrt{29}}5$ leży między $1$ a $2$ .

c) Pierwsza liczba to $\frac{55}{12}$ . Druga, $9+\sqrt[3]{81}$ , jest niewymierna i leży między $13$ a $14$ .

d) $\sqrt[3]7\sqrt[3]{49}=7$ . Liczba $\sqrt[3]5\sqrt[3]{125}=5\sqrt[3]5$ jest niewymierna i leży między $8$ a $9$ .

Odpowiedź

a) $4-\frac{\sqrt{12}}3$ ; część całkowita $2$ . b) $\sqrt{1\frac4{25}}$ ; $1$ . c) $\sqrt{81}+\sqrt[3]{81}$ ; $13$ . d) $\sqrt[3]5\cdot\sqrt[3]{125}$ ; $8$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Tym razem trzeba uprościć osiem iloczynów lub ilorazów pierwiastków, a potem wyznaczyć odwrotność każdej otrzymanej liczby.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw upraszczamy podaną liczbę, następnie ją odwracamy: $\begin{aligned} \text{a)}&\ \sqrt{(3/5)\cdot15}=3 &&\Rightarrow \frac13,\\ \text{b)}&\ \sqrt{(21/4)(7/3)}=\frac72 &&\Rightarrow \frac27,\\ \text{c)}&\ \sqrt[3]{25\cdot40}=10 &&\Rightarrow \frac1{10},\\ \text{d)}&\ \sqrt[3]{75\cdot45}=15 &&\Rightarrow \frac1{15},\\ \text{e)}&\ \sqrt{128/512}=\frac12 &&\Rightarrow 2,\\ \text{f)}&\ \sqrt{216/192}=\frac{3\sqrt2}{4} &&\Rightarrow \frac{2\sqrt2}{3},\\ \text{g)}&\ \frac{5/4}{15/16}=\frac43 &&\Rightarrow \frac34,\\ \text{h)}&\ \sqrt{\frac{3/2}{32/27}}=\frac98 &&\Rightarrow \frac89. \end{aligned}$

Odpowiedź

a) $\frac13$ , b) $\frac27$ , c) $\frac1{10}$ , d) $\frac1{15}$ , e) $2$ , f) $\frac{2\sqrt2}{3}$ , g) $\frac34$ , h) $\frac89$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Przeprowadzamy zestaw rachunków na pierwiastkach sześciennych i kwadratowych, łącząc ułamki, liczby mieszane oraz ilorazy.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy działania pod wspólnym pierwiastkiem: $\begin{aligned} \text{a)}&\ \sqrt[3]{-8/125}=-\frac25,\\ \text{b)}&\ \sqrt[3]{64/(-27)}=-\frac43,\\ \text{c)}&\ \frac54-\frac54=0,\qquad \text{d)}\ \frac{11-5}{12-6}=1,\\ \text{e)}&\ \sqrt[3]{40/135}=\sqrt[3]{8/27}=\frac23,\\ \text{f)}&\ \sqrt[3]{(5/2)(1/20)}=\frac12,\\ \text{g)}&\ \sqrt[3]{(4/5)/(25/16)}=\frac45,\\ \text{h)}&\ \sqrt[3]{(5/6)/(36/25)}=\frac56. \end{aligned}$

Odpowiedź

a) $-\frac25$ , b) $-\frac43$ , c) $0$ , d) $1$ , e) $\frac23$ , f) $\frac12$ , g) $\frac45$ , h) $\frac56$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Twoim celem jest to, by dla trzech różnych par liczb obliczyć kolejno iloraz sumy i różnicy, sześcian różnicy oraz różnicę odwrotności kwadratów.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $\frac{x+y}{x-y}=\frac{6-2\sqrt5}{-2}=-3+\sqrt5.$

b) Ponieważ $0{,}(9)=1$ , mamy $x-y=-5\sqrt[3]3$ , więc $(x-y)^3=(-5)^3\cdot3=-375.$

c) $x^2=\frac2{81}$ , a $y=\frac29\sqrt3$ , więc $y^2=\frac4{27}$ . Zatem $\frac1{x^2}-\frac1{y^2}=\frac{81}{2}-\frac{27}{4}=\frac{135}{4}.$

Odpowiedź

a) $-3+\sqrt5$ , b) $-375$ , c) $\frac{135}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Skupiamy się na tym, jak oszacować trzy liczby z pierwiastkami i dla każdej znaleźć liczbę naturalną wyznaczającą sąsiedni przedział jednostkowy.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy kwadraty dodatnich liczb: $3^2=9<(2\sqrt3)^2=12<16=4^2,$ $11^2=121<(5\sqrt5)^2=125<144=12^2,$ $5^2=25<35<36=6^2.$

Odpowiedź

a) $n=3$ , b) $n=12$ , c) $n=5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

Należy tutaj obliczyć sześć ilorazów liczb zapisanych w różnych skalach i przedstawić każdy wynik w poprawnej notacji wykładniczej.

6 podpunktów

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dzielimy współczynniki i wykonujemy działania na potęgach $10$ : $\text{a)}\ \frac{7{,}2\cdot4{,}9}{5{,}6}10^{18+7-32}=6{,}3\cdot10^{-7},$ $\text{b)}\ \frac{1{,}44\cdot5{,}4}{1{,}8\cdot3{,}6}10^{11+23-5-8}=1{,}2\cdot10^{21},$ $\text{c)}\ \frac{4{,}41\cdot10^9}{2{,}1\cdot10^{-2}}=2{,}1\cdot10^{11},$ $\text{d)}\ \frac{1{,}024\cdot10^4}{8\cdot10^{-8}}=1{,}28\cdot10^{11},$ $\text{e)}\ \frac{2{,}16\cdot10^{-7}}{3{,}6\cdot10^5}=6\cdot10^{-13},\quad \text{f)}\ \frac{8\cdot10^{-11}}{2{,}5}=3{,}2\cdot10^{-11}.$

Odpowiedź

a) $6{,}3\cdot10^{-7}$ , b) $1{,}2\cdot10^{21}$ , c) $2{,}1\cdot10^{11}$ , d) $1{,}28\cdot10^{11}$ , e) $6\cdot10^{-13}$ , f) $3{,}2\cdot10^{-11}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem