NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 47 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

W tym przykładzie trzeba odczytać wykładniki dwójki odpowiadające liczbom całkowitym, odwrotnościom i pierwiastkom, a następnie podać logarytmy.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Szukamy wykładników potęgi $2$ : $512=2^9,\quad2=2^1,\quad\frac1{32}=2^{-5},\quad\sqrt[5]2=2^{1/5},\quad\sqrt8=2^{3/2}.$

Odpowiedź

a) $9$ , b) $1$ , c) $-5$ , d) $\frac15$ , e) $\frac32$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Liczymy tu logarytmy o podstawie 3 dla jedności, potęg, ułamka oraz wyrażeń z pierwiastkami.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zapisujemy argumenty jako potęgi $3$ : $1=3^0,\quad243=3^5,\quad\frac13=3^{-1},\quad3\sqrt3=3^{3/2},\quad\frac1{\sqrt{27}}=3^{-3/2}.$

Odpowiedź

a) $0$ , b) $5$ , c) $-1$ , d) $\frac32$ , e) $-\frac32$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Ustalamy logarytmy o podstawach ułamkowych, rozpoznając dodatnie i ujemne wykładniki tworzące podane argumenty.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przy podstawie mniejszej od $1$ także szukamy odpowiedniego wykładnika: $(1/2)^{-1}=2,\qquad(1/2)^2=\frac14,\qquad(1/3)^4=\frac1{81}.$

Odpowiedź

a) $-1$ , b) $2$ , c) $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Celem jest to, by na trzech parach konkretnych liczb sprawdzić rachunkowo regułę zamieniającą sumę logarytmów w logarytm iloczynu.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczymy obie strony.

a) Lewa: $2+4=6$ ; prawa: $\log_2 64=6$ .

b) Lewa: $3+(-2)=1$ ; prawa: $\log_2 2=1$ .

c) Lewa: $\frac12+\frac32=2$ ; prawa: $\log_2 4=2$ .

We wszystkich przypadkach strony są równe.

Odpowiedź

Równość jest prawdziwa w punktach a), b) i c); odpowiednio otrzymujemy $6=6$ , $1=1$ i $2=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Ćwiczymy tutaj, jak dla trzech zestawów wartości potwierdzić regułę, która różnicę logarytmów łączy z logarytmem ilorazu.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczymy obie strony.

a) Lewa: $3-1=2$ ; prawa: $\log_3 9=2$ .

b) Lewa: $4-2=2$ ; prawa: $\log_3 9=2$ .

c) Lewa: $1-\frac12=\frac12$ ; prawa: $\log_3\sqrt3=\frac12$ .

We wszystkich przypadkach strony są równe.

Odpowiedź

Równość jest prawdziwa w punktach a), b) i c); odpowiednio otrzymujemy $2=2$ , $2=2$ i $\frac12=\frac12$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

W tym zadaniu należy zwinąć sumy logarytmów do logarytmu iloczynu i dzięki temu obliczyć trzy wyrażenia o różnych podstawach.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy logarytmy: $\log_4 2+\log_4 8=\log_4 16=2,$ $\log_6 2+\log_6 3=\log_6 6=1,$ $\log_2 12+\log_2\frac23=\log_2 8=3.$

Odpowiedź

a) $2$ , b) $1$ , c) $3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 7

Używamy własności logarytmu potęgi do szybkiego obliczenia czterech wyrażeń z wysokimi lub ujemnymi wykładnikami.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy $\log_a(b^r)=r\log_a b$ : $\log_2 4^{10}=10\cdot2=20,\quad\log_2 32^4=4\cdot5=20,$ $\log_3 9^6=6\cdot2=12,\quad\log_3 81^{-4}=-4\cdot4=-16.$

Odpowiedź

a) $20$ , b) $20$ , c) $12$ , d) $-16$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Uzasadniamy dwie równości logarytmiczne przez przekształcenie obu stron z użyciem praw iloczynu, ilorazu i potęgi.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Ponieważ $2=\log100$ , $\log15+\log12-2=\log\frac{15\cdot12}{100}=\log\frac95.$

b) Lewa strona: $\log_2 54-\log_2 3=\log_2 18.$ Prawa strona: $2\log_2\sqrt3+\log_2 6=\log_2((\sqrt3)^2\cdot6)=\log_2 18.$ Obie równości są więc prawdziwe.

Odpowiedź

W punkcie a) obie strony są równe $\log\frac95$ , a w punkcie b) — $\log_2 18$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 8

Warto tutaj odczytać przybliżenia z tablicy logarytmów dziesiętnych, przeskalować argumenty i obliczyć także sumę oraz różnicę logarytmów.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z tabeli i przesuwania przecinka, czyli dodawania całkowitej potęgi $10$ .

a) Z tabeli $\log0{,}03=-1{,}523$ , $\log0{,}3=-0{,}523$ , więc $\log3=0{,}477$ .

b) Ponieważ $\log0{,}54=-0{,}268$ , otrzymujemy: $\log0{,}054=-1{,}268,\quad\log0{,}0054=-2{,}268,\quad\log5{,}4=0{,}732.$

c) $\log3+\log9=\log27=2+\log0{,}27=1{,}431$ . Ponadto $\log8-\log2=\log4=2+\log0{,}04=0{,}602$ .

Odpowiedź

a) $-1{,}523$ , $-0{,}523$ , $0{,}477$ ; b) $-1{,}268$ , $-2{,}268$ , $0{,}732$ ; c) $1{,}431$ , $0{,}602$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem