Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 46

rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „1.10. Logarytm i jego własności” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 3

Ustalamy logarytmy przy podstawie 3 dla liczb większych i mniejszych od jedności oraz dla pierwiastków różnych stopni.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdą liczbę logarytmowaną zapisujemy jako potęgę $3$ : $3=3^1,\quad81=3^4,\quad\sqrt3=3^{1/2},\quad27=3^3,$ $\frac19=3^{-2},\qquad\sqrt[4]3=3^{1/4}.$

Odpowiedź

a) $1$ , b) $4$ , c) $\frac12$ , d) $3$ , e) $-2$ , f) $\frac14$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

Rozważamy tutaj, jak z definicji logarytmu wykazać dwie podstawowe własności: logarytm jedności wynosi zero, a logarytm podstawy wynosi jeden.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z definicji $\log_a b=x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^x=b$ , przy $a>0$ i $a\ne1$ .

Ponieważ $a^0=1$ , otrzymujemy $\log_a1=0$ . Ponieważ $a^1=a$ , otrzymujemy $\log_a a=1$ .

Odpowiedź

Dla $a>0$ , $a\ne1$ : $\log_a1=0$ oraz $\log_a a=1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 5

Liczymy tu pięć logarytmów iloczynów, rozdzielając je na sumy prostszych logarytmów o tej samej podstawie.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ i zapisujemy czynniki jako potęgi podstawy: $\log_2(64\cdot256)=6+8=14,$ $\log_5(125\cdot625)=3+4=7,$ $\log_5(5\sqrt5)=1+\frac12=\frac32,$ $\log_2(8\sqrt[3]2)=3+\frac13=\frac{10}{3},$ $\log_3(9\sqrt[4]3)=2+\frac14=\frac94.$

Odpowiedź

a) $14$ , b) $7$ , c) $\frac32$ , d) $\frac{10}{3}$ , e) $\frac94$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

Liczymy tu logarytmy ilorazów dzięki zamianie ich na różnice prostszych logarytmów i wykorzystaniu zapisu potęgowego.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z $\log_a(x/y)=\log_a x-\log_a y$ : $\log_2\frac{0{,}5}{64}=-1-6=-7,$ $\log_2\frac{1024}{0{,}125}=10-(-3)=13,$ $\log_2\frac{\sqrt2}{8}=\frac12-3=-\frac52,$ $\log_5\frac{625}{\sqrt5}=4-\frac12=\frac72,$ $\log_3\frac{243}{\sqrt[4]3}=5-\frac14=\frac{19}{4}.$

Odpowiedź

a) $-7$ , b) $13$ , c) $-\frac52$ , d) $\frac72$ , e) $\frac{19}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem