NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 44 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Zamieniamy pierwiastki, ułamki i iloczyny zawierające dwójkę na pojedyncze potęgi o podstawie 2 oraz wymiernych wykładnikach.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zamieniamy pierwiastki na wykładniki ułamkowe i zapisujemy wszystkie czynniki jako potęgi liczby $2$ : $\sqrt2=2^{1/2},\quad\sqrt[3]2=2^{1/3},\quad\sqrt{0{,}5}=2^{-1/2},\quad\sqrt[3]4=2^{2/3},$ $\sqrt{512}=2^{9/2},\quad\sqrt[3]{1024}=2^{10/3},\quad2\sqrt2=2^{3/2},\quad2\sqrt[3]2=2^{4/3}.$

Odpowiedź

a) $2^{1/2}$ , b) $2^{1/3}$ , c) $2^{-1/2}$ , d) $2^{2/3}$ , e) $2^{9/2}$ , f) $2^{10/3}$ , g) $2^{3/2}$ , h) $2^{4/3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Liczymy tu wartości potęg liczb całkowitych przy dodatnich i ujemnych wykładnikach ułamkowych lub dziesiętnych.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy podstawy do potęg: $9^{3/2}=27,\quad125^{2/3}=25,\quad8^{-4/3}=\frac1{16},\quad27^{-2/3}=\frac19,$ $144^{-1/2}=\frac1{12},\quad16^{3/4}=8,\quad10\,000^{1/4}=10,\quad81^{-1/8}=3^{-1/2}=\frac{\sqrt3}{3}.$

Odpowiedź

a) $27$ , b) $25$ , c) $\frac1{16}$ , d) $\frac19$ , e) $\frac1{12}$ , f) $8$ , g) $10$ , h) $\frac{\sqrt3}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Liczymy tu potęgi małych liczb dziesiętnych z wykładnikami wymiernymi, przekształcając podstawy do wygodnej postaci.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdą liczbę dziesiętną zapisujemy jako dogodną potęgę: $0{,}04^{3/2}=(1/5)^3=0{,}008,\quad0{,}16^{-1/2}=(2/5)^{-1}=\frac52,$ $0{,}027^{2/3}=(0{,}3)^2=0{,}09,\quad0{,}0016^{-3/4}=(5^{-4})^{-3/4}=125,$ $0{,}0625^{-5/4}=(2^{-4})^{-5/4}=32,\quad0{,}00032^{3/5}=(5^{-5})^{3/5}=0{,}008,$ $0{,}0081^{-1{,}25}=((3/10)^4)^{-5/4}=(10/3)^5,$ $0{,}00000256^{0{,}375}=(5^{-8})^{3/8}=0{,}008.$

Odpowiedź

a) $0{,}008$ , b) $2{,}5$ , c) $0{,}09$ , d) $125$ , e) $32$ , f) $0{,}008$ , g) $\left(\frac{10}{3}\right)^5$ , h) $0{,}008$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Łączymy prawa działań na potęgach i pierwiastkach w kilku krótkich rachunkach obejmujących iloczyny oraz potęgi złożone.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy czynniki do wspólnej podstawy: $2^2\cdot8^{2/3}=4\cdot4=16,$ $3^3\cdot27^{-4/3}=3^3\cdot3^{-4}=\frac13,$ $0{,}008^{1/3}\cdot\sqrt[3]{125}=0{,}2\cdot5=1,$ $0{,}0256^{3/4}\cdot(\sqrt[3]{10})^9=0{,}4^3\cdot10^3=64.$

Odpowiedź

a) $16$ , b) $\frac13$ , c) $1$ , d) $64$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Sprowadzamy różnorodne pierwiastki, iloczyny i ilorazy do pojedynczej potęgi z naturalną podstawą oraz wymiernym wykładnikiem.

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zastępujemy pierwiastki wykładnikami ułamkowymi i dodajemy lub odejmujemy wykładniki: $\begin{aligned} \text{a)}&\ 2^{1/4},&\text{b)}&\ 5^{1/6},&\text{c)}&\ 5^{3/8},\\ \text{d)}&\ 2^{1/2+1/3}=2^{5/6},&\text{e)}&\ 3^{1/2-1/3}=3^{1/6},&\text{f)}&\ 3^{1/3-1/4}=3^{1/12},\\ \text{g)}&\ 2^{1/2+1/3+1/2}=2^{4/3},&\text{h)}&\ 3^{1+2/3-1/2}=3^{7/6},\\ \text{i)}&\ 2^{1/2+3-2}=2^{3/2},&\text{j)}&\ 2^1 3^2=18,\\ \text{k)}&\ 2^{1/4}3^{3/4}:(2^{3/4}3^{3/4})=2^{-1/2},& \text{l)}&\ 3^{1/8}(2^2 3)^{3/4}:2^{3/2}=3^{7/8}. \end{aligned}$

Odpowiedź

a) $2^{1/4}$ , b) $5^{1/6}$ , c) $5^{3/8}$ , d) $2^{5/6}$ , e) $3^{1/6}$ , f) $3^{1/12}$ , g) $2^{4/3}$ , h) $3^{7/6}$ , i) $2^{3/2}$ , j) $18$ , k) $2^{-1/2}$ , l) $3^{7/8}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Sedno zadania polega na tym, by w dwóch parach skomplikowanych wyrażeń potęgowych porównać liczby x i y po ich wcześniejszym uproszczeniu.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $1024=2^{10}$ , więc $x=3\cdot2^{-1}=\frac32,\qquad y=2^{-1/3}2^{4/3}2^{-1/2}=2^{1/2}=\sqrt2.$ Ponieważ $\frac32>\sqrt2$ , większa jest liczba $x$ .

b) Mamy $x=(5/2)^3:(5/2)^{1/2}=(5/2)^{5/2},\qquad y=(36^3)^{1/6}=6.$ Obie liczby są dodatnie, a $x^2=(5/2)^5=\frac{3125}{32}>36=y^2$ , zatem $x>y$ .

Odpowiedź

W obu przypadkach większa jest liczba $x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem