Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 43

rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „1.9. Potęga o wykładniku wymiernym” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 5

Upraszczamy pięć iloczynów i ilorazów potęg o wspólnych podstawach, dodając lub odejmując ich wykładniki wymierne.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dodajemy wykładniki przy mnożeniu i odejmujemy przy dzieleniu: $2^{2/3}2^{4/3}=2^2=4,\quad5^{4/3}5^{5/3}=5^3=125,$ $4^{9/2}:4^{5/2}=4^2=16,\quad2^{7{,}5}:2^{2{,}5}=2^5=32,$ $3^{1/2}3^{-1/3}3^{1/6}=3^{1/2-1/3+1/6}=3^{1/3}=\sqrt[3]{3}.$

Odpowiedź

a) $4$ , b) $125$ , c) $16$ , d) $32$ , e) $\sqrt[3]{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

Liczymy tu serię iloczynów i ilorazów potęg o wykładnikach wymiernych, korzystając ze wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika.

5 podpunktów

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy potęgi o jednakowych wykładnikach: $12^{3/2}3^{3/2}=36^{3/2}=216,\qquad12^{5/2}:3^{5/2}=4^{5/2}=32,$ $24^{2/3}3^{1/3}=\sqrt[3]{24^2\cdot3}=12,$ $9^{4/3}:24^{2/3}=\frac{3^{8/3}}{(3\cdot2^3)^{2/3}}=\frac{3^2}{2^2}=\frac94,$ $375^{1/3}3^{2/3}=\sqrt[3]{375\cdot9}=\sqrt[3]{3375}=15.$

Odpowiedź

a) $216$ , b) $32$ , c) $12$ , d) $\frac94$ , e) $15$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Ćwiczenie 7

Upraszczamy potęgi zagnieżdżone o ułamkowych i dziesiętnych wykładnikach, poprawnie mnożąc wykładniki i dobierając wygodne podstawy.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy wykładniki potęgi potęgi: $9^{(3/5)(10/3)}=9^2=81,\qquad8^{(3/2)(4/9)}=8^{2/3}=4,$ $125^{(2/3)(3/4)}=125^{1/2}=5\sqrt5,$ $(4/9)^{(-5/2)(-3/5)}=(4/9)^{3/2}=\frac8{27},$ $32^{(28/25)(-5/7)}=32^{-4/5}=2^{-4}=\frac1{16}.$

Odpowiedź

a) $81$ , b) $4$ , c) $5\sqrt5$ , d) $\frac8{27}$ , e) $\frac1{16}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 8

Należy tutaj wykorzystać znane przybliżenia potęg dziesięciu do oszacowania czterech nowych wartości i zaokrąglić wyniki do czterech miejsc po przecinku.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozdzielamy wykładnik na część całkowitą i jedną z podanych części ułamkowych: $10^{2{,}3}=10^2\cdot10^{0{,}3}\approx199{,}5262,$ $10^{3{,}45}=10^3\cdot10^{0{,}45}\approx2818{,}3829,$ $10^{13/8}=10^{1+0{,}625}\approx42{,}1697,$ $10^{-1{,}7}=10^{-2+0{,}3}\approx0{,}0200.$

Odpowiedź

a) $199{,}5262$ , b) $2818{,}3829$ , c) $42{,}1697$ , d) $0{,}0200$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem