Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 42

rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „1.9. Potęga o wykładniku wymiernym” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

Liczymy tu sześć potęg z jednostkowym wykładnikiem ułamkowym przez zamianę ich na pierwiastki odpowiedniego stopnia.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z równości $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ : $4^{1/2}=2,\quad16^{1/2}=4,\quad81^{1/2}=9,$ $8^{1/3}=2,\quad27^{1/3}=3,\quad81^{1/4}=3.$

Odpowiedź

a) $2$ , b) $4$ , c) $9$ , d) $2$ , e) $3$ , f) $3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

Liczymy tu dziesięć potęg o dodatnich, ujemnych i dziesiętnych wykładnikach wymiernych po sprowadzeniu podstaw do pełnych potęg.

10 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy podstawy do potęg liczb naturalnych: $4^{3/2}=2^3=8,\quad27^{2/3}=3^2=9,\quad8^{4/3}=2^4=16,$ $32^{3/5}=2^3=8,\quad81^{1{,}5}=81^{3/2}=9^3=729,\quad4^{2{,}5}=4^{5/2}=2^5=32,$ $125^{-2/3}=5^{-2}=\frac1{25},\quad(1/81)^{-3/4}=(3^{-4})^{-3/4}=27,$ $(1/4)^{-2{,}5}=(2^{-2})^{-5/2}=32,\quad(8/27)^{-2/3}=((2/3)^3)^{-2/3}=\frac94.$

Odpowiedź

a) $8$ , b) $9$ , c) $16$ , d) $8$ , e) $729$ , f) $32$ , g) $\frac1{25}$ , h) $27$ , i) $32$ , j) $\frac94$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

Udowadniamy ogólną zgodność potęgowania pierwiastka z pierwiastkowaniem potęgi przez zapis obu stron jako potęgi wymiernej.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z definicji pierwiastka, dla $a>0$ mamy $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ . Zatem $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=(a^{1/n})^m=a^{m/n}.$ Z drugiej strony $\sqrt[n]{a^m}=(a^m)^{1/n}=a^{m/n}.$ Obie strony są więc równe. Założenie $a>0$ zapewnia poprawność także dla ujemnego $m$ .

Odpowiedź

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$ , ponieważ obie strony są równe $a^{m/n}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 4

Liczymy tu dziesięć wyrażeń z potęgami i zagnieżdżonymi pierwiastkami przez zamianę ich wykładników na ułamki.

10 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zapisujemy pierwiastki jako potęgi: $\begin{aligned} (\sqrt{10})^6&=10^3=1000,\\ \sqrt{4^{10}}&=4^5=1024,\\ \sqrt[3]{125^2}&=(5^3)^{2/3}=25,\\ \sqrt[5]{32^3}&=(2^5)^{3/5}=8,\\ (\sqrt[8]{625})^2&=(5^4)^{1/4}=5,\\ \sqrt{\sqrt{81}}&=81^{1/4}=3,\\ (\sqrt[3]{\sqrt{27}})^2&=27^{1/3}=3,\\ \sqrt[3]{\sqrt{4^3}}&=4^{1/2}=2,\\ (\sqrt{\sqrt[3]{49}})^3&=49^{1/2}=7,\\ \sqrt[3]{\sqrt[4]{16^6}}&=16^{1/2}=4. \end{aligned}$

Odpowiedź

a) $1000$ , b) $1024$ , c) $25$ , d) $8$ , e) $5$ , f) $3$ , g) $3$ , h) $2$ , i) $7$ , j) $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem