Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 40

rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „1.8. Notacja wykładnicza” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

Celem ćwiczenia jest to, by obliczyć cztery ilorazy bardzo dużych i małych liczb, wykorzystując notację wykładniczą, a wyniki zapisać na dwa sposoby.

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Najpierw zapisujemy dzielną i dzielnik w notacji wykładniczej, a następnie dzielimy współczynniki i odejmujemy wykładniki.

a)

2,1⋅1091,05⋅105=2⋅104=20 000.\frac{2{,}1\cdot10^9}{1{,}05\cdot10^5}=2\cdot10^4=20\,000.

b)

2,43⋅10112,7=0,9⋅1011=9⋅1010=90 000 000 000.\frac{2{,}43\cdot10^{11}}{2{,}7}=0{,}9\cdot10^{11}=9\cdot10^{10}=90\,000\,000\,000.

c)

5,1⋅10101,7⋅10−2=3⋅1012=3 000 000 000 000.\frac{5{,}1\cdot10^{10}}{1{,}7\cdot10^{-2}}=3\cdot10^{12}=3\,000\,000\,000\,000.

d)

1,024⋅10116,4⋅10−1=0,16⋅1012=1,6⋅1011=160 000 000 000.\frac{1{,}024\cdot10^{11}}{6{,}4\cdot10^{-1}}=0{,}16\cdot10^{12}=1{,}6\cdot10^{11}=160\,000\,000\,000.

Odpowiedź

a) 2⋅104=20 0002\cdot10^4=20\,000; b) 9⋅1010=90 000 000 0009\cdot10^{10}=90\,000\,000\,000; c) 3⋅1012=3 000 000 000 0003\cdot10^{12}=3\,000\,000\,000\,000; d) 1,6⋅1011=160 000 000 0001{,}6\cdot10^{11}=160\,000\,000\,000.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

W tym przykładzie trzeba uprościć cztery ułamki z iloczynami zapisanymi w notacji wykładniczej i znormalizować końcowe współczynniki.

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy z praw działań na potęgach o tej samej podstawie.

a)

3,2⋅1,24⋅10−12+4−(−18)=0,96⋅1010=9,6⋅109.\frac{3{,}2\cdot1{,}2}{4}\cdot10^{-12+4-(-18)}=0{,}96\cdot10^{10}=9{,}6\cdot10^9.

b)

5,2⋅1,51,3⋅108−3−18=6⋅10−13.\frac{5{,}2\cdot1{,}5}{1{,}3}\cdot10^{8-3-18}=6\cdot10^{-13}.

c)

3,4⋅7,52,5⋅10−15−16−(−30)=10,2⋅10−1=1,02⋅100.\frac{3{,}4\cdot7{,}5}{2{,}5}\cdot10^{-15-16-(-30)}=10{,}2\cdot10^{-1}=1{,}02\cdot10^0.

d)

4,8⋅1,86⋅1,2⋅1018−10−(−8)−16=1,2⋅100.\frac{4{,}8\cdot1{,}8}{6\cdot1{,}2}\cdot10^{18-10-(-8)-16}=1{,}2\cdot10^0.

Odpowiedź

a) 9,6⋅1099{,}6\cdot10^9; b) 6⋅10−136\cdot10^{-13}; c) 1,02⋅1001{,}02\cdot10^0; d) 1,2⋅1001{,}2\cdot10^0.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Uzupełniamy tabelę prędkości przez zamianę między zapisem dziesiętnym i wykładniczym dla pięciu bardzo różnych wartości.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Przesunięcie przecinka w prawo odpowiada dodatniemu wykładnikowi, a w lewo — ujemnemu.

  • Rosnący włos: 4,6⋅10−9=0,00000000464{,}6\cdot10^{-9}=0{,}0000000046.
  • Szybki ślimak: 0,00194=1,94⋅10−30{,}00194=1{,}94\cdot10^{-3}.
  • Sprinter: 10=1⋅10110=1\cdot10^1.
  • Ziemia wokół Słońca: 2,96⋅104=29 6002{,}96\cdot10^4=29\,600.
  • Światło w próżni: 299 792 458=2,99792458⋅108299\,792\,458=2{,}99792458\cdot10^8.
Odpowiedź
vv [m/s] (zapis dziesiętny)vv [m/s] (notacja wykładnicza)
Rosnący włos0,00000000460{,}00000000464,6⋅10−94{,}6\cdot10^{-9}
Szybki ślimak0,001940{,}001941,94⋅10−31{,}94\cdot10^{-3}
Sprinter10101⋅1011\cdot10^1
Ziemia wokół Słońca29 60029\,6002,96⋅1042{,}96\cdot10^4
Światło w próżni299 792 458299\,792\,4582,99792458⋅1082{,}99792458\cdot10^8

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Zadanie sprawdza, czy potrafisz obliczyć długość roku świetlnego i przeliczyć na kilometry sześć odległości astronomicznych wyrażonych czasem biegu światła.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

W roku liczącym 365365 dni jest

365⋅24⋅3600=31 536 000=3,1536⋅107365\cdot24\cdot3600=31\,536\,000=3{,}1536\cdot10^7

sekund. Rok świetlny ma więc

3⋅105⋅3,1536⋅107=9,4608⋅1012 km.3\cdot10^5\cdot3{,}1536\cdot10^7=9{,}4608\cdot10^{12}\ \text{km}.

Teraz przeliczamy kolejne czasy drogi światła.

  • Księżyc: 1,3⋅3⋅105=3,9⋅1051{,}3\cdot3\cdot10^5=3{,}9\cdot10^5 km.
  • Słońce: 8 min 19 s=499 s8\ \text{min}\ 19\ \text{s}=499\ \text{s}, więc 499⋅3⋅105=1,497⋅108≈1,5⋅108499\cdot3\cdot10^5=1{,}497\cdot10^8\approx1{,}5\cdot10^8 km.
  • Pluton: 5,5 h=19 800 s5{,}5\ \text{h}=19\,800\ \text{s}, więc 19 800⋅3⋅105=5,94⋅109≈5,9⋅10919\,800\cdot3\cdot10^5=5{,}94\cdot10^9\approx5{,}9\cdot10^9 km.
  • Gwiazda Polarna: 430⋅9,4608⋅1012=4,068144⋅1015≈4,1⋅1015430\cdot9{,}4608\cdot10^{12}=4{,}068144\cdot10^{15}\approx4{,}1\cdot10^{15} km.
  • Środek Galaktyki: 28 000⋅9,4608⋅1012=2,649024⋅1017≈2,6⋅101728\,000\cdot9{,}4608\cdot10^{12}=2{,}649024\cdot10^{17}\approx2{,}6\cdot10^{17} km.
  • Najbliższe kwazary: 1,5⋅109⋅9,4608⋅1012=1,41912⋅1022≈1,4⋅10221{,}5\cdot10^9\cdot9{,}4608\cdot10^{12}=1{,}41912\cdot10^{22}\approx1{,}4\cdot10^{22} km.
Odpowiedź

Rok świetlny ma 9,4608⋅10129{,}4608\cdot10^{12} km. Odległości wynoszą w przybliżeniu: Księżyc — 3,9⋅1053{,}9\cdot10^5 km, Słońce — 1,5⋅1081{,}5\cdot10^8 km, Pluton — 5,9⋅1095{,}9\cdot10^9 km, Gwiazda Polarna — 4,1⋅10154{,}1\cdot10^{15} km, środek Galaktyki — 2,6⋅10172{,}6\cdot10^{17} km, najbliższe kwazary — 1,4⋅10221{,}4\cdot10^{22} km.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Celem jest to, by oszacować czas podróży do Gwiazdy Polarnej z prędkością Apollo 10 i przedstawić go dziesiętnie oraz wykładniczo.

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z zadania 4 odległość do Gwiazdy Polarnej przed zaokrągleniem wynosi około

4,068144⋅1015 km.4{,}068144\cdot10^{15}\ \text{km}.

Przy prędkości 40 000=4⋅10440\,000=4\cdot10^4 km/h czas podróży byłby równy

t=4,068144⋅10154⋅104=1,017036⋅1011 h.t=\frac{4{,}068144\cdot10^{15}}{4\cdot10^4}=1{,}017036\cdot10^{11}\ \text{h}.

Po zaokrągleniu do czterech cyfr znaczących otrzymujemy 1,017⋅10111{,}017\cdot10^{11} h, czyli 101 700 000 000101\,700\,000\,000 h.

Odpowiedź

Podróż trwałaby około 1,017⋅10111{,}017\cdot10^{11} h, czyli około 101 700 000 000101\,700\,000\,000 godzin.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem