NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 38

Z twierdzenia Gaussa–Wantzela regularny $n$-kąt jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy

$n=2^k p_1p_2\cdots p_r,$

gdzie $p_i$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Wykorzystujemy $3$, $5$ i $17$.

$170=2\cdot5\cdot17,$ więc $170$-kąt jest konstruowalny.

$200=2^3\cdot5^2,$ więc nie jest konstruowalny, bo czynnik Fermata $5$ występuje dwukrotnie.

$204=2^2\cdot3\cdot17,$ więc $204$-kąt jest konstruowalny.

$1020=2^2\cdot3\cdot5\cdot17,$ więc $1020$-kąt również jest konstruowalny.

Liczba $17$ jest liczbą pierwszą Fermata:

$17=2^{2^2}+1.$

Z twierdzenia Gaussa–Wantzela wynika więc, że regularny $17$-kąt można skonstruować cyrklem i linijką. Gauss zauważył to w 1796 r.; był to pierwszy od starożytności istotny nowy wynik dotyczący konstruowalnych wielokątów foremnych.

Algebraicznym uzasadnieniem konstrukcji jest możliwość zapisania $\cos\frac{2\pi}{17}$ za pomocą działań arytmetycznych i skończonego ciągu zagnieżdżonych pierwiastków kwadratowych. Każde takie działanie odpowiada klasycznej konstrukcji odcinka za pomocą prostej i okręgu.

W praktycznej konstrukcji na okręgu wyznacza się cięciwę odpowiadającą kątowi środkowemu $\frac{360^\circ}{17}$. Po skonstruowaniu tej cięciwy odkłada się ją cyrklem kolejno na okręgu $17$ razy i łączy sąsiednie punkty.