NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 37 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Liczymy tu zestawy potęg liczb całkowitych i pierwiastków dla wykładników dodatnich oraz ujemnych.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym.

a) $(-2)^5=-32$ , $(-2)^{-5}=-\frac1{32}$ , $2^{-5}=\frac1{32}$ .

b) $3^2=9$ , $(-3)^3=-27$ , $(-3)^4=81$ .

c) $(\sqrt3)^4=9$ , $(\sqrt3)^{-2}=\frac13$ , $(\sqrt3)^{-6}=\frac1{27}$ .

d) $(\sqrt2)^6=8$ , $(\sqrt2)^7=8\sqrt2$ , $(\sqrt2)^{-8}=\frac1{16}$ .

Odpowiedź

a) $-32$ , $-\frac1{32}$ , $\frac1{32}$ ; b) $9$ , $-27$ , $81$ ; c) $9$ , $\frac13$ , $\frac1{27}$ ; d) $8$ , $8\sqrt2$ , $\frac1{16}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Sprowadzamy cztery iloczyny lub ilorazy potęg liczb 2, 4, 8, 16, 32 i 64 do pojedynczej potęgi o podstawie 2.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zamieniamy $4=2^2$ , $8=2^3$ , $16=2^4$ , $32=2^5$ , $64=2^6$ .

a) $2^3\cdot(2^2)^6=2^{15}$ .

b) $(2^2)^{-5}(2^3)^2=2^{-10+6}=2^{-4}$ .

c) $(2^6)^2:(2^5)^{-3}=2^{12-(-15)}=2^{27}$ .

d) $((2^4)^{-2}:(2^2)^{-8})(2^3)^4=2^{-8-(-16)+12}=2^{20}$ .

Odpowiedź

a) $2^{15}$ , b) $2^{-4}$ , c) $2^{27}$ , d) $2^{20}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz w czterech grupach zapisać różne liczby jako potęgi wspólnej podstawy 2, 3, 10 lub 5 i ustalić całkowite wykładniki.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy każdą grupę do wskazanej podstawy.

a) Podstawa $2$ : $2^4$ , $2^{-6}$ , $2^9$ , $2^2$ , $2^{20}$ .

b) Podstawa $3$ : $3^{-4}$ , $3^3$ , $3^{-4}$ , $3^3$ , $3^{-20}$ .

c) Podstawa $10$ : $10^{-3}$ , $10^{10}$ , $10^8$ , $10^{-6}$ .

d) Podstawa $5$ : $5^{-6}$ , $5^2$ , $5^{-12}$ , $5^{-20}$ .

Odpowiedź

a) $2^4,2^{-6},2^9,2^2,2^{20}$ ; b) $3^{-4},3^3,3^{-4},3^3,3^{-20}$ ; c) $10^{-3},10^{10},10^8,10^{-6}$ ; d) $5^{-6},5^2,5^{-12},5^{-20}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Liczymy tu cztery ujemne potęgi wyrażeń z pierwiastkami, odwracając podstawy i racjonalizując końcowe wyniki.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odwracamy podstawę przy wykładniku ujemnym.

a) $(-2\sqrt3)^{-3}=-\frac1{(2\sqrt3)^3}=-\frac1{24\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{72}.$

b) $\left(\frac3{\sqrt2}\right)^{-4}=\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)^4=\frac4{81}.$

c) $\left(-\frac{\sqrt5}{10}\right)^{-3}=(-2\sqrt5)^3=-40\sqrt5.$

d) $\left((-3\sqrt2)^{-1}\right)^{-2}=(-3\sqrt2)^2=18.$

Odpowiedź

a) $-\frac{\sqrt3}{72}$ , b) $\frac4{81}$ , c) $-40\sqrt5$ , d) $18$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Upraszczamy osiem iloczynów i ilorazów potęg o wspólnych wykładnikach przez połączenie ich podstaw.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy potęgi o wspólnym wykładniku:

a) $(5\cdot2)^{-3}=10^{-3}=0{,}001$ .

b) $(0{,}2\cdot5)^{-5}=1$ .

c) $(4/8)^4=\frac1{16}$ .

d) $(18/6)^{-3}=\frac1{27}$ .

e) $((17/7)/(17/14))^5=2^5=32$ .

f) $(1{,}3/0{,}1)^{-2}=13^{-2}=\frac1{169}$ .

g) $(-0{,}2)^{-8}:5^8=1$ .

h) $(-1{,}2)^{-5}:(1{,}2)^{-5}=(-1)^{-5}=-1$ .

Odpowiedź

a) $0{,}001$ , b) $1$ , c) $\frac1{16}$ , d) $\frac1{27}$ , e) $32$ , f) $\frac1{169}$ , g) $1$ , h) $-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Liczymy tu trzy wieloczynnikowe wyrażenia potęgowe, odwracając podstawy przy ujemnych wykładnikach i skracając czynniki.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Po odwróceniu podstaw: $\left(\frac56\right)^5\left(\frac67\right)^3\left(\frac75\right)^4=\frac{35}{36}.$

b) $\left(\frac2{21}\cdot15\cdot7\right)^{-3}=10^{-3}=0{,}001.$

c) $\left(0{,}4\cdot\frac5{16}\cdot4\right)^3=\left(\frac12\right)^3=\frac18.$

Odpowiedź

a) $\frac{35}{36}$ , b) $0{,}001$ , c) $\frac18$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Najważniejsze jest, aby w dwóch parach porównać liczby x i y po sprowadzeniu potęg o podstawach 4 i 8 do potęg liczby 2.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $x=2^4\cdot2^{-4}=1$ , natomiast $y=2^{-8}:2^{-6}=2^{-2}=\frac14$ . Zatem $x>y$ .

b) $x=(2^{-4}:2^{-6})^{-1}=(2^2)^{-1}=\frac14$ , a $y=(2^{-7})^{-1}=2^7=128$ . Zatem $y>x$ .

Odpowiedź

a) większa jest $x$ ; b) większa jest $y$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

Liczymy tu sześć złożonych wyrażeń z potęgami całkowitymi, stosując prawa wykładników i kolejność działań.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy prawa potęg i wykonujemy działania w nawiasach.

a) $\frac{1/4}{1/27}\cdot\frac{16}{81}=\frac43$ .

b) $((\frac23)^{-2})^{-2}=(\frac23)^4=\frac{16}{81}$ .

c) $\frac{1+0}{1/6}+(4096-4096)=6$ .

d) $\left(\frac1{81}\cdot(\frac32)^5\right):\frac1{36}=\frac{27}{8}=3\frac38$ .

e) $\left(\frac12\cdot8^6-2\cdot16^4\right):7^3=0$ .

f) $(\frac52)^3:(\frac52)^2\cdot(\frac52)^{-4}=(\frac52)^{-3}=\frac8{125}$ .

Odpowiedź

a) $1\frac13$ , b) $\frac{16}{81}$ , c) $6$ , d) $3\frac38$ , e) $0$ , f) $\frac8{125}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

Sedno zadania polega na tym, by dla czterech wyrażeń ustalić konieczne założenie o x, uprościć zagnieżdżone potęgi i obliczyć wartości po podstawieniu.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie występują potęgi ujemne lub dzielenie przez potęgę $x$ , dlatego konieczne jest $x\ne0$ .

a) $(x^{-3})^{-2}+(x^{-1})^{-6}=x^6+x^6=2x^6$ . Dla $x=-2$ wartość wynosi $128$ .

b) $((x^4)^{-3})^{-2}:((x^2)^{-2})^{-3}=x^{24}:x^{12}=x^{12}$ . Dla $x=1$ otrzymujemy $1$ .

c) $(((x^{-3})^2:x^{-4}):x^0)^{-2}=(x^{-2})^{-2}=x^4$ . Dla $x=5$ otrzymujemy $625$ .

d) $\frac{x^{18}+x^{18}}{x^{15}}=2x^3.$ Dla $x=\frac32$ wartość wynosi $2\cdot\frac{27}{8}=\frac{27}{4}$ .

Odpowiedź

Założenie: $x\ne0$ . a) $2x^6$ , wartość $128$ ; b) $x^{12}$ , wartość $1$ ; c) $x^4$ , wartość $625$ ; d) $2x^3$ , wartość $\frac{27}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem