NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 352

Przenosimy prawą stronę i wyłączamy wspólny czynnik:

$$3x(x+3)-(x+3)^2=(x+3)[3x-(x+3)]=(x+3)(2x-3)=0.$$

Stąd $x+3=0$ lub $2x-3=0$.

$2x^2+7x\ge4\iff2x^2+7x-4\ge0.$

Miejsca zerowe trójmianu to

$x=\frac{-7\pm\sqrt{49+32}}4=\frac{-7\pm9}{4},$

czyli $-4$ oraz $\frac12$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, trójmian jest nieujemny na zewnątrz przedziału między pierwiastkami.

Wyróżnik wynosi

$$\Delta=3^2-4(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=9-4(3-1)=1.$$

Zatem

$x_{1,2}=\frac{-3\pm1}{2(\sqrt3-1)}.$

Po usunięciu niewymierności z mianowników otrzymujemy

$x_1=-\sqrt3-1,\qquad x_2=-\frac{\sqrt3+1}{2}.$

Przenosimy prawą stronę i wyłączamy wspólny czynnik:

$$(x+1)[(2x+3)-(5-x)]\le0 \iff(x+1)(3x-2)\le0.$$

Miejsca zerowe to $-1$ i $\frac23$. Iloczyn jest niedodatni między nimi.

$f(x)=x^2-6x=(x-3)^2-9.$

Parabola ma ramiona skierowane w górę i wierzchołek dla $x=3$. Funkcja maleje do wierzchołka, a następnie rośnie.

Miejsca zerowe funkcji to $-3$ i $5$, więc odcięta wierzchołka jest ich średnią:

$x_w=\frac{-3+5}{2}=1.$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, wartość w wierzchołku jest minimum:

$f(1)=2(1+3)(1-5)=2\cdot4\cdot(-4)=-32.$

Wyłączamy $\frac14$ i rozpoznajemy kwadrat dwumianu:

$$y=\frac14(x^2-8x+16)=\frac14(x-4)^2 =\frac14(x-4)(x-4).$$

Przesunięcie o $3$ jednostki w lewo odpowiada podstawieniu $x\mapsto x+3$:

$g(x)=-\frac12(x+3)^2.$

Wierzchołek $(-3,0)$ leży w przedziale $[-5,1]$, więc największa wartość wynosi $0$. Najmniejszą wartość osiągamy w końcu przedziału najbardziej oddalonym od $-3$. Mamy

$g(-5)=-2,qquad g(1)=-8,$

zatem minimum wynosi $-8$.

Pierwsza nierówność ma postać $x(x+4)\le0$, więc $x\in[-4,0]$. Druga ma postać $(x-2)(x+2)>0$, zatem $x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$. Część wspólna to $[-4,-2)$.

Liczbami całkowitymi w tym przedziale są $-4$ i $-3$.

Z wierzchołka $(3,-1)$ wynika postać

$f(x)=a(x-3)^2-1.$

OCR-owy MD nie zachował danych z wykresu. Na skanie strony 352 widać zaznaczony punkt $(1,0)$. Po podstawieniu otrzymujemy $0=4a-1$, więc $a=\frac14$ i

$f(x)=\frac14(x-3)^2-1.$

Rozwiązujemy podaną nierówność:

$$\frac14(x-3)^2-1\le-\frac32x+\frac54.$$

Po pomnożeniu przez $4$ i rozwinięciu:

$x^2-6x+5\le-6x+5\iff x^2\le0.$

Stąd jedynym rozwiązaniem jest $x=0$, czyli liczba wymierna. Żadna liczba niewymierna nie spełnia nierówności.

Druga przekątna ma długość $10\frac12-x=\frac{21}{2}-x$. Pole rombu jest równe połowie iloczynu przekątnych, zatem

$P(x)=\frac12x\left(\frac{21}{2}-x\right).$

Obie długości muszą być dodatnie, więc $0<x<\frac{21}{2}$. Po zapisaniu w postaci kanonicznej:

$$P(x)=-\frac12\left(x-\frac{21}{4}\right)^2+\frac{441}{32}.$$

Równość $P(x)=\frac{441}{32}$ zachodzi wyłącznie dla $x=\frac{21}{4}$, które nie jest liczbą całkowitą. Dla każdego całkowitego $x$ z dziedziny kwadrat jest dodatni, więc $P(x)<\frac{441}{32}$.