NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 353

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik.

Dla $x^2-11x-26=0$ mamy $\Delta=225$, więc pierwiastki to $-2$ i $13$.

Dla $2x^2+7x+4=0$ mamy $\Delta=17$, zatem pierwiastki to

$x=\frac{-7\pm\sqrt{17}}4.$

Najmniejszy z czterech pierwiastków to $\frac{-7-\sqrt{17}}4\approx-2{,}78$.

Pierwszy trójmian ma miejsca zerowe $-2$ i $16$, więc nierówność $x^2-14x-32>0$ daje $x\in(-\infty,-2)\cup(16,\infty)$.

Druga nierówność ma postać $x(x-23)\le0$, zatem $x\in[0,23]$. Wspólne naturalne rozwiązania to $17,18,19,20,21,22,23$. Ich suma wynosi

$\frac{(17+23)\cdot7}{2}=140.$

Parabola wyjściowa ma postać

$y=x^2-8x-11=(x-4)^2-27,$

więc jej najmniejsza wartość to $-27$. Przesunięcie o wektor $[p,q]$ zmienia minimum o $q$, niezależnie od $p$. Warunek $-27+q=-7$ daje $q=20$.

Miejsca zerowe paraboli wyjściowej spełniają

$x^2-8x-11=0,$

więc wynoszą $4-3\sqrt3$ i $4+3\sqrt3$. Przesunięcie wykresu w prawo o $p=3\sqrt3$ dodaje tę liczbę do obu miejsc zerowych, a $q=0$ nie zmienia ich wysokości. Otrzymujemy

$4-3\sqrt3+3\sqrt3=4,$

$4+3\sqrt3+3\sqrt3=4+6\sqrt3.$

Z wierzchołka $(-3,1)$ mamy

$f(x)=a(x+3)^2+1.$

Ponieważ $f(-5)=0$, zachodzi $4a+1=0$, więc $a=-\frac14$. Stąd

$f(x)=-\frac14(x+3)^2+1.$

Przesunięcie pionowe daje $g(x)=f(x)+p$. Warunek $g(4)=0$ oznacza $p=-f(4)$. Obliczamy

$f(4)=-\frac14\cdot49+1=-\frac{45}{4},$

zatem $p=\frac{45}{4}=11{,}25$.

$f(x)=2x^2-11x+15=(2x-5)(x-3),$

więc wspólne miejsca zerowe to $\frac52$ i $3$. Ponieważ funkcja $g$ jest moniczna, jej postać iloczynowa ma postać

$$g(x)=\left(x-\frac52\right)(x-3) =x^2-\frac{11}{2}x+\frac{15}{2}.$$

Niech $u(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$. Jego wykres ma zera $-1,3$ i wierzchołek $(1,-4)$. Wykres $f=|u|$ otrzymujemy przez odbicie fragmentu poniżej osi $OX$ do góry:

$$f(x)= \begin{cases} x^2-2x-3,&x\le-1\ \text{lub}\ x\ge3,\\ -x^2+2x+3,&-1\le x\le3. \end{cases}$$

Nierówność $|u(x)|\ge3$ jest równoważna alternatywie $u(x)\ge3$ lub $u(x)\le-3$.

Pierwszy warunek daje $x^2-2x-6\ge0$, czyli $x\le1-\sqrt7$ lub $x\ge1+\sqrt7$. Drugi daje $x^2-2x\le0$, czyli $x\in[0,2]$.

Z wierzchołka $(-1,-2)$ wynika

$g(x)=a(x+1)^2-2.$

Ponieważ wyraz wolny funkcji $g$ wynosi $-1$, mamy $g(0)=a-2=-1$, więc $a=1$ i

$g(x)=(x+1)^2-2=x^2+2x-1.$

Miejsca zerowe $g$ to $-1-\sqrt2$ i $-1+\sqrt2$; funkcja $g$ jest ujemna między nimi. Funkcja

$f(x)=-(x-3)(x+1)$

ma zera $-1,3$ i jest dodatnia między nimi. Układ punktów krytycznych to

$-1-\sqrt2<-1<-1+\sqrt2<3.$

Tabela znaków obu funkcji pokazuje, że ich iloczyn jest ujemny na pierwszym, trzecim i piątym z wyznaczonych przedziałów.

Rozpatrujemy dwa znaki argumentu.

Dla $x\ge0$ mamy $|x|=x$, więc

\iff x(3-x)\le0.$$ Po uwzględnieniu $x\ge0$ otrzymujemy $x=0$ lub $x\ge3$. **Dla $x<0$** mamy $|x|=-x$, więc $$-x^2-4x+1\le x+1 \iff x(x+5)\ge0.$$ Po uwzględnieniu $x<0$ otrzymujemy $x\le-5$. Punkty przecięcia wykresów mają zatem odcięte $-5,0,3$, a z porównania położenia wykresów wynikają właśnie wskazane przedziały.