NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 346

Dla funkcji kwadratowej punkt zmiany monotoniczności jest wierzchołkiem. Gdy $a>0$, wartość w wierzchołku jest minimum; gdy $a<0$ — maksimum.

a) $W=(0,-\sqrt2)$, ramiona w górę.

b) $f(x)=-(x-3)^2+9$, więc $W=(3,9)$, ramiona w dół.

c) $f(x)=(x-4)^2-9$, więc $W=(4,-9)$, ramiona w górę.

d) $f(x)=-(x-2)^2+9$, więc $W=(2,9)$, ramiona w dół.

e) $f(x)=-\frac13(x-3)^2+3$, więc $W=(3,3)$, ramiona w dół.

f) Odcięta wierzchołka wynosi $x_w=-\frac{1/4}{2\cdot1/6}=-\frac34$, a $f\left(-\frac34\right)=-\frac3{32}$. Ramiona są skierowane w górę.

Punkt przecięcia z osią $OY$ ma postać $(0,c)$. Przecięcia z osią $OX$ wyznaczamy z równania $y=0$, a wierzchołek z $x_w=-\frac{b}{2a}$ i $y_w=f(x_w)$.

a) $y=x(x-4)$: zera $0,4$, a $W=(2,-4)$.

b) $y=-x(x-2)$: zera $0,2$, a $W=(1,1)$.

c) $y=-(x+2)(x-4)$: zera $-2,4$, punkt $(0,8)$ i $W=(1,9)$.

d) $y=(x+2)(x+4)$: zera $-4,-2$, punkt $(0,8)$ i $W=(-3,-1)$.

e) $y=(2x-1)(x-2)$: zera $\frac12,2$, punkt $(0,2)$ i $W=\left(\frac54,-\frac98\right)$.

f) $y=-2(x-1)(x-3)$: zera $1,3$, punkt $(0,-6)$ i $W=(2,2)$.

Kierunek ramion wynika ze znaku współczynnika przy $x^2$: w a), d), e) ramiona są skierowane w górę, a w b), c), f) — w dół. Te dane wystarczają do wykonania wymaganych szkiców.

a) $x^2+4x-21=(x+7)(x-3)=0$.

b) Po zmianie znaków mamy $6x^2+7x-5=0$. $\Delta=169$, zatem $x=\frac{-7\pm13}{12}$.

c) $\frac94x^2-12x+16=\left(\frac32x-4\right)^2=0$.

d) Po zmianie znaków: $x^2-3\sqrt2x+5=0$. $\Delta=18-20=-2<0$, więc brak rozwiązań rzeczywistych.

e) $\Delta=25-12=13$, zatem $x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}6$.

f) $\Delta=9+8=17$, zatem $x=\frac{3\pm\sqrt{17}}4$.

a) $(7x+10)^2=0$, więc $x=-\frac{10}{7}$.

b) $(x+3)^2=(2x-1)^2$. Z różnicy kwadratów: $(4-x)(3x+2)=0$.

c) Po przeniesieniu wyrazów: $x^2+x-4=0$.

d) Po pomnożeniu uporządkowanego równania przez $-\frac45$: $x^2+4x+4=(x+2)^2=0$.

e) Wyłączamy wspólny czynnik: $(x-10)[(2x-4)-(x+6)]=(x-10)^2=0$.

f) Po rozwinięciu otrzymujemy $3x^2+2x+1=0$; wyróżnik $-8$ oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.

g) Po uproszczeniu: $x^2+4x-10=0$.

h) Po rozwinięciu: $5x^2-13x+19=0$; $\Delta=-211<0$, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

a) $3x^2\ge1$, więc $|x|\ge\frac{\sqrt3}{3}$.

b) $-4x^2\le12x\iff x(x+3)\ge0$.

c) Po pomnożeniu przez $4$: $x^2-20x+28<0$. Pierwiastki to $10\pm6\sqrt2$, a trójmian jest ujemny między nimi.

d) $6x^2-2x+3>0$ dla każdego $x$, ponieważ $\Delta=-68<0$ i $a>0$.

e) Po uproszczeniu: $(4x+1)(x-2)\ge0$.

f) Po przeniesieniu stron i podzieleniu przez $-2$ ze zmianą znaku: $3x^2-x-2<0$, czyli $(3x+2)(x-1)<0$.

g) Wyrazy czwartego stopnia redukują się i pozostaje $8x^2-6\ge0$, czyli $|x|\ge\frac{\sqrt3}{2}$.

h) Po rozwinięciu stron: $9x^2-30x+10\le8x^2-6x+1$, czyli $x^2-24x+9\le0$. Pierwiastki to $12\pm3\sqrt{15}$.

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest równy $1$, dla wierzchołka $W=(p,q)$ postać kanoniczna ma postać $f(x)=(x-p)^2+q$. Rozwijamy ją i odczytujemy $b,c$.

a) $f(x)=x^2+1$.

b) $f(x)=(x-1)^2+3=x^2-2x+4$.

c) $f(x)=(x+2)^2+2=x^2+4x+6$.

d) $f(x)=(x-4)^2-1=x^2-8x+15$.

Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc jej zbiór wartości ma postać $[y_w,\infty)$. Dla $f(x)=2x^2+bx+1$ wartość w wierzchołku wynosi

$y_w=-\frac{\Delta}{4a}=1-\frac{b^2}{8}.$

Przyrównujemy ją do lewego końca zadanego przedziału.

a) $1-\frac{b^2}{8}=-1\iff b^2=16$.

b) $1-\frac{b^2}{8}=0\iff b^2=8$.

c) $1-\frac{b^2}{8}=2\iff b^2=-8$, co jest niemożliwe dla $b\in\mathbb R$.

d) $1-\frac{b^2}{8}=\frac12\iff b^2=4$.