NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 347

a) Oś symetrii leży w połowie między zerami, czyli $x=1$. Postać kanoniczna to $f(x)=a(x-1)^2+2$. Warunek $f(-1)=0$ daje $4a+2=0$, więc $a=-\frac12$.

b) Oś symetrii ma równanie $x=2$, a minimum wynosi $-5$, zatem $f(x)=a(x-2)^2-5$. Z warunku $f(-3)=0$ otrzymujemy $25a-5=0$, czyli $a=\frac15$.

c) Punkty $(2,5)$ i $(4,5)$ są symetryczne względem osi $x=3$. Minimum jest równe $0$, więc wierzchołek to $(3,0)$ i $f(x)=a(x-3)^2$. Podstawienie $(2,5)$ daje $a=5$.

Z wierzchołka $W(2,4)$ wynika postać

$f(x)=a(x-2)^2+4.$

a) $0=4a+4$, więc $a=-1$.

b) $7=9a+4$, więc $a=\frac13$.

c) $10=16a+4$, więc $a=\frac38$.

Miejsca zerowe paraboli są symetryczne względem prostej $x=x_w$, więc $x_1+x_2=2x_w$. Dla jednego zera równego $3$ drugie wynosi $2x_w-3$.

a) $2\cdot5-3=7$.

b) $2\cdot(-3)-3=-9$.

c) $2\cdot\frac12-3=-2$.

d) $2\cdot\frac54-3=-\frac12$.

Wykorzystujemy wyłączanie wspólnego czynnika lub wzór na różnicę kwadratów.

a) $(x-3)[(x-3)-(2x-1)]=-(x-3)(x+2)=0$.

b) $(x+2)[(x+2)-(3x-4)]=-2(x+2)(x-3)=0$.

c) $16-(3x-1)^2=(5-3x)(3x+3)=0$.

d) $9x^2-(2x-1)^2=(x+1)(5x-1)=0$.

e) $4x^2-(1-x)^2=(3x-1)(x+1)=0$.

f) $(2x+1)^2-(4x+5)^2=-12(x+2)(x+1)=0$.

Rozwiązaniem układu jest część wspólna zbiorów rozwiązań obu nierówności.

a) Pierwsza nierówność daje $x\in(-\infty,-\frac13)\cup(2,\infty)$, a druga $4x^2\le1$, czyli $x\in[-\frac12,\frac12]$. Ich część wspólna to $[-\frac12,-\frac13)$.

b) Pierwsza nierówność jest równoważna

$3x^2-5x-6\le0,$

więc $x\in\left[\frac{5-\sqrt{97}}6,\frac{5+\sqrt{97}}6\right]$. Druga daje $|x|>\frac53$. Po przecięciu pozostaje $\left(\frac53,\frac{5+\sqrt{97}}6\right]$.

a) Punkty $B,C$ dają zera $1,-1$, więc $f(x)=a(x-1)(x+1)$. Z $f(0)=2$ wynika $a=-2$.

b) Z $f(0)=4$ mamy $c=4$. Warunki $f(1)=3$ i $f(2)=0$ dają $a+b=-1$ oraz $2a+b=-2$, zatem $a=-1$, $b=0$.

c) Punkty $(2,4)$ i $(4,4)$ są symetryczne względem $x=3$, a $A=(3,0)$ jest wierzchołkiem. Stąd $f(x)=a(x-3)^2$ i z $f(2)=4$ otrzymujemy $a=4$.

d) Punkty $(1,2)$ i $(3,2)$ są symetryczne względem osi $x=2$, więc $f(x)=a(x-2)^2+q$. Warunki $a+q=2$ i $4a+q=-4$ dają $a=-2$, $q=4$. Po rozwinięciu $f(x)=-2x^2+8x-4$, a jego zera to $2\pm\sqrt2$.

Każdy warunek na $x$ wyznacza przedział lub sumę przedziałów pionowych, a warunek na $y$ — poziomych. Szukany zbiór jest ich iloczynem kartezjańskim.

a) $x^2-x-12\le0$ daje $x\in[-3,4]$, a $y^2\le4$ daje $y\in[-2,2]$.

b) $x(x-3)\le0$ daje $x\in[0,3]$, a $(y-2)(y+1)\le0$ daje $y\in[-1,2]$.

c) $(x-3)(x+1)>0$ daje $x\in(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$, natomiast $y(y-2)<0$ daje $y\in(0,2)$.

d) $(x-3)(x+2)>0$ daje $x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty)$, a $y(y-3)\ge0$ daje $y\in(-\infty,0]\cup[3,\infty)$.