NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 345

Sprowadzamy każdą nierówność do iloczynu albo odczytujemy znak trójmianu na podstawie jego miejsc zerowych.

a) $x^2>25\iff |x|>5$.

b) $x^2\le16\iff |x|\le4$.

c) $4x^2\ge9\iff |x|\ge\frac32$.

d) $x^2-x-6=(x+2)(x-3)\ge0$.

e) $x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\le0$.

f) $x^2-4x-5=(x+1)(x-5)<0$.

g) $2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)\le0$.

h) $2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)>0$.

i) Dla $3x^2-x+1<0$ mamy $\Delta=1-12=-11<0$ i dodatni współczynnik przy $x^2$, więc nierówność jest sprzeczna.

j) $6x^2-x-12=(3x+4)(2x-3)>0$.

k) $\frac12x^2-3x-8\le0$, czyli po pomnożeniu przez $2$: $(x+2)(x-8)\le0$.

l) $\frac23x^2-x+6\le0$. Po pomnożeniu przez $3$ otrzymujemy $2x^2-3x+18\le0$, ale $\Delta=9-144<0$ i trójmian jest zawsze dodatni.

a) $9-\frac14x^2\ge0\iff x^2\le36$, więc $x\in[-6,6]$. Jest tam $6-(-6)+1=13$ liczb całkowitych.

b) $\frac13x^2>x\iff x(x-3)>0$, czyli $x\in(-\infty,0)\cup(3,\infty)$. Zbiór zawiera nieskończenie wiele liczb całkowitych.

c) $2x^2-x-10\le0$. Miejsca zerowe to $-2$ i $\frac52$, zatem $x\in\left[-2,\frac52\right]$. Liczby całkowite: $-2,-1,0,1,2$ — razem 5.

d) $2-x>x^2\iff x^2+x-2<0\iff(x+2)(x-1)<0$. Stąd $x\in(-2,1)$, a całkowite rozwiązania to $-1,0$ — razem 2.

Sprowadzamy trójmiany do kwadratów lub ustalamy ich stały znak.

a) $-2x^2+6x-\frac92=-2\left(x-\frac32\right)^2<0$, więc nierówność zachodzi poza punktem, w którym kwadrat jest równy zeru.

b) $-3x^2+2x-\frac13=-3\left(x-\frac13\right)^2\le0$ dla każdego $x$.

c) $x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$ dla każdego $x$.

d) $-9x^2+2x-\frac19=-9\left(x-\frac19\right)^2<0$ poza $x=\frac19$.

e) Dla $2x^2-x+\frac12$ wyróżnik wynosi $-3$, a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni. Wyrażenie jest zawsze dodatnie, więc nierówność $\le0$ nie ma rozwiązań.

f) $-4x^2+12x-9=-(2x-3)^2\ge0$ tylko wtedy, gdy kwadrat jest zerem.

Rozwiązujemy nierówność $f(x)>g(x)$.

a)

$2x^2-x+1>x^2-2x+3\iff x^2+x-2>0.$

Ponieważ $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, iloczyn jest dodatni poza pierwiastkami.

b)

$3x^2-x>x^2-2x+3\iff2x^2+x-3>0.$

Miejsca zerowe to $-\frac32$ i $1$, a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni.

c)

\iff x^2+8x+6<0.$$ Pierwiastki ostatniego trójmianu to $-4-\sqrt{10}$ i $-4+\sqrt{10}$; trójmian jest ujemny między nimi.

Po rozwinięciu nawiasów otrzymujemy następujące nierówności kwadratowe.

a) $x^2-x-6<0$, czyli $(x+2)(x-3)<0$.

b) $x^2+12x-5\ge0$. Pierwiastki to $-6\pm\sqrt{41}$, a trójmian jest nieujemny na zewnątrz przedziału między nimi.

c) $-x^2+18x-6\le0$, równoważnie $x^2-18x+6\ge0$. Pierwiastki: $9\pm5\sqrt3$.

d) $x^2+3x-2\ge0$. Pierwiastki: $\frac{-3-\sqrt{17}}2$ i $\frac{-3+\sqrt{17}}2$.

e) Po przeniesieniu prawej strony otrzymujemy $3x^2-5x+11\ge0$. Ponieważ $\Delta=25-132<0$ i $a>0$, nierówność zachodzi dla każdego $x$.

f) Po uproszczeniu: $5x^2+6x+1<0$, czyli $(5x+1)(x+1)<0$.

a)

$A=[-2,3],$

bo $(x+2)(x-3)\le0$. Ponadto

$-x^2\le4x\iff x(x+4)\ge0,$

więc $B=(-\infty,-4]\cup[0,\infty)$. Z tych przedziałów odczytujemy sumę, część wspólną i różnicę.

b) Pierwiastkami $x^2+\frac72x-2$ są $-4$ i $\frac12$, zatem

$A=(-\infty,-4)\cup\left(\frac12,\infty\right).$

Natomiast

$x^2-x+\frac14=\left(x-\frac12\right)^2\le0$

wyłącznie dla $x=\frac12$, czyli $B=\left\{\frac12\right\}$.

Każde wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

a) $(x-4)(x+1)\ge0$, więc $x\le-1$ lub $x\ge4$.

b) $-2x^2+5x+3\ge0$. Miejsca zerowe to $-\frac12$ i $3$, a trójmian o ujemnym współczynniku wiodącym jest nieujemny między nimi.

c) Muszą jednocześnie zachodzić warunki $x^2-1\ge0$ oraz $4-x^2\ge0$, czyli $|x|\ge1$ i $|x|\le2$.

d) Warunki to $2x^2-1\ge0$ i $9-4x^2\ge0$, czyli $|x|\ge\frac{\sqrt2}{2}$ oraz $|x|\le\frac32$.

Pole prostokąta wynosi

$P(x)=(x-1)(2x+3)=2x^2+x-3.$

Obie długości muszą być dodatnie. Warunki $x-1>0$ i $2x+3>0$ dają po przecięciu dziedzinę $D=(1,\infty)$.

a)

$P(x)<7\iff2x^2+x-10<0.$

Miejsca zerowe to $-\frac52$ i $2$, więc po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x\in(1,2)$.

b)

$P(x)>18\iff2x^2+x-21>0.$

Miejsca zerowe to $-\frac72$ i $3$. Trójmian jest dodatni poza nimi, a po przecięciu z $D$ pozostaje $x>3$.

Podstawmy $t=|x|$, gdzie $t\ge0$ i $x^2=t^2$.

a) $t^2-4t=t(t-4)\ge0$. Przy $t\ge0$ otrzymujemy $t=0$ lub $t\ge4$, czyli $x=0$ albo $|x|\ge4$.

b) $t^2+2t-3=(t-1)(t+3)<0$. Po uwzględnieniu $t\ge0$ mamy $0\le t<1$, czyli $|x|<1$.

c) $2t^2-5t-3=(2t+1)(t-3)\ge0$. Dla $t\ge0$ zachodzi to wtedy i tylko wtedy, gdy $t\ge3$, czyli $|x|\ge3$.