Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 344

rozdział 7. Funkcja kwadratowa · temat „7.7. Nierówności kwadratowe” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 2

W ramach ćwiczenia trzeba porównać trzy znaki nierówności dla tego samego trójmianu będącego ujemnym pełnym kwadratem i poprawnie uwzględnić jego jedyne zero.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

We wszystkich podpunktach

$-x^2+2x-1=-(x-1)^2.$

Kwadrat jest nieujemny, zatem jego liczba przeciwna jest zawsze niedodatnia i zeruje się tylko dla $x=1$ .

a) Nierówność nieostra jest spełniona dla każdego $x\in\mathbb R$ .

b) Wartość jest ściśle ujemna dla wszystkich $x\ne1$ .

c) Wyrażenie nigdy nie jest dodatnie.

Odpowiedź

a) $x\in\mathbb R$ ;
b) $x\in\mathbb R\setminus\{1\}$ ;
c) $\varnothing$ (nierówność sprzeczna).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

Najważniejsze jest, aby dla trzech trójmianów bez rzeczywistych zer wykorzystać stały znak całej paraboli i rozstrzygnąć, czy zbiorem rozwiązań jest cała prosta czy zbiór pusty.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie wyróżnik jest ujemny, więc trójmian nie ma miejsc zerowych i zachowuje stały znak — taki jak współczynnik przy $x^2$ .

a) $\Delta=2^2-4\cdot4\cdot1=-12<0$ , a $a=4>0$ . Wyrażenie jest dodatnie dla każdego $x$ .

b) $\Delta=1-4\cdot1\cdot3=-11<0$ , a $a=1>0$ . Wyrażenie jest zawsze dodatnie, więc nie może być mniejsze od zera.

c) $\Delta=(\sqrt2)^2-4\cdot(-2)\cdot(-1)=-6<0$ , a $a=-2<0$ . Wyrażenie jest ujemne dla każdego $x$ , a więc tym bardziej niedodatnie.

Odpowiedź

a) $x\in\mathbb R$ ;
b) $\varnothing$ (nierówność sprzeczna);
c) $x\in\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem