NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 341

Miejsca zerowe są symetryczne względem osi $x=x_w$. Zatem brakujące zero spełnia $x_1+x_2=2x_w$. Współczynnik $a$ wyznaczamy z rzędnej wierzchołka.

a) $x_1+5=6$, więc $x_1=1$. Mamy $f(x)=a(x-1)(x-5)$, a $f(3)=-4a=-4$, zatem $a=1$:

$f(x)=(x-1)(x-5)=(x-3)^2-4.$

b) $x_1+(-4)=-4$, więc $x_1=0$. Mamy $f(x)=ax(x+4)$, a $f(-2)=-4a=2$, zatem $a=-\frac12$:

$f(x)=-\frac12x(x+4)=-\frac12(x+2)^2+2.$

c) $x_1+(-1)=4$, więc $x_1=5$. Mamy $f(x)=a(x+1)(x-5)$, a $f(2)=-9a=-3$, zatem $a=\frac13$:

$f(x)=\frac13(x+1)(x-5)=\frac13(x-2)^2-3.$

a) Oznaczmy pierwiastki przez $r$ i $r+2$. Ich średnia to odcięta wierzchołka:

$\frac{r+(r+2)}2=-2,$

więc $r=-3$; pierwiastki to $-3,-1$. Zatem $f(x)=a(x+3)(x+1)$. Warunek $f(-2)=4$ daje $-a=4$, czyli $a=-4$.

b) Niech pierwiastki będą równe $r$ i $3r$. Wtedy $\frac{r+3r}{2}=4$, więc $r=2$; pierwiastki to $2,6$. Mamy $f(x)=a(x-2)(x-6)$, a $f(4)=2$ daje $-4a=2$, więc $a=-\frac12$.

Odbicie wykresu względem osi $OY$ odpowiada podstawieniu $x\mapsto -x$.

Dla $f$:

=-\frac43x(x+3) =-\frac43\left(x+\frac32\right)^2+3.$$ **Dla $g$:** $$g_1(x)=g(-x)=-\frac12x^2-2x =-\frac12x(x+4) =-\frac12(x+2)^2+2.$$ **Dla $h$:** $$h_1(x)=h(-x)=-\frac29x^2-\frac23x =-\frac29x(x+3) =-\frac29\left(x+\frac32\right)^2+\frac12.$$

Jeżeli pierwiastki pierwotnego trójmianu mają sumę $S$ i iloczyn $P$, to po ich podwojeniu suma wynosi $2S$, a iloczyn $4P$. Dla trójmianu $x^2+b_0x+c_0$ mamy $S=-b_0$ i $P=c_0$. Nowe współczynniki to zatem $b=2b_0$ oraz $c=4c_0$.

a) $b=2(-4)=-8$, $c=4\cdot3=12$.

b) $b=2(-3\sqrt2)=-6\sqrt2$, $c=4\cdot4=16$.

c) $b=2(-4)=-8$, $c=4\cdot2=8$.

Po przesunięciu o $[p,q]$ wykres ma równanie $y=\frac12(x-p)^2+q$. Jego pierwiastki są symetryczne względem $p$, więc $p$ jest ich średnią. Dla pierwiastka $x_1$ mamy $q=-\frac12(x_1-p)^2$.

a) $p=3$, a $|1-3|=2$, więc $q=-\frac12\cdot4=-2$.

b) $p=-2$, a $|-6-(-2)|=4$, więc $q=-\frac12\cdot16=-8$.

c) $p=3$, a odległość pierwiastka od osi wynosi $\sqrt2$, więc $q=-\frac12\cdot2=-1$.

Zakładamy $\Delta\ge0$. Wtedy $\sqrt\Delta$ jest liczbą rzeczywistą i możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów:

$$\begin{aligned} y&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2\right]\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\\ &=a\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right). \end{aligned}$$

Dla $\Delta>0$ liczby $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ i $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ są dwoma pierwiastkami, więc $y=a(x-x_1)(x-x_2)$. Dla $\Delta=0$ oba czynniki są równe i otrzymujemy $y=a(x-x_0)^2$.