NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 340

Wyznaczamy pierwiastki i zachowujemy współczynnik przy $x^2$.

a) $x_1=-\frac12$, $x_2=2$: $y=2(x+\frac12)(x-2)$.

b) $x_1=3$, $x_2=-2$: $y=-(x-3)(x+2)$.

c) $x_1=-\frac34$, $x_2=1$: $y=4(x+\frac34)(x-1)$.

d) $\Delta=13$, więc $x_{1,2}=\frac{5\mp\sqrt{13}}6$:

\left(x-\frac{5+\sqrt{13}}6\right).$$ **e)** $\Delta=-12<0$ — brak postaci iloczynowej w $\mathbb R$. **f)** Pierwiastki $-2\sqrt3$, $\sqrt3$: $y=(x+2\sqrt3)(x-\sqrt3)$. **g)** Pierwiastki $\pm\sqrt5$: $y=-2(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)$. **h)** Pierwiastki $0,-\frac12$: $y=\frac13x(x+\frac12)$. **i)** $\Delta=-216<0$ — brak postaci iloczynowej w $\mathbb R$.

Dla pierwiastków $x_1,x_2$ mamy

$y=(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2,$

czyli $b=-(x_1+x_2)$ i $c=x_1x_2$.

Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi: $x_w=\frac{x_1+x_2}{2}$. Następnie obliczamy $y_w=f(x_w)$.

a) Zera: $0,6$. Zatem $x_w=3$ i $y_w=3(3-6)=-9$.

b) Zera: $-6,2$. Zatem $x_w=-2$ i $y_w=\frac12\cdot4\cdot(-4)=-8$.

c) Zera: $-\frac12,\frac32$. Zatem $x_w=\frac12$ i $y_w=(2)(-2)=-4$.

Miejsca zerowe odczytujemy z czynników, oś leży w ich połowie, a rzędną wierzchołka obliczamy przez podstawienie.

a) Zera: $0,-6$; przecięcie z $OY$: $(0,0)$. Oś: $x=-3$, $y(-3)=9$, więc $W(-3,9)$. Ramiona są skierowane w dół.

b) Zera: $1,5$; przecięcie z $OY$: $(0,5)$. Oś: $x=3$, $y(3)=-4$, więc $W(3,-4)$. Ramiona są skierowane w górę.

c) Zera: $-3,1$; przecięcie z $OY$: $(0,\frac32)$. Oś: $x=-1$, $y(-1)=2$, więc $W(-1,2)$. Ramiona są skierowane w dół.

Te punkty wystarczają do wykonania trzech szkiców.

Zapisujemy $y=a(x-x_1)(x-x_2)$. Wierzchołek ma odciętą $p=\frac{x_1+x_2}{2}$, a jego rzędna jest krańcem podanego zbioru wartości.

a) $p=1$, $q=-4$. Mamy $-4=a(1+1)(1-3)=-4a$, więc $a=1$: $y=(x+1)(x-3)$.

b) $p=-2$, $q=2$. Mamy $2=a(-2+4)(-2)=-4a$, więc $a=-\frac12$: $y=-\frac12x(x+4)$.

c) $p=-3$, $q=10$. Mamy $10=a(5)(-5)=-25a$, więc $a=-\frac25$: $y=-\frac25(x+8)(x-2)$.

d) $p=3$, $q=-6$. Mamy $-6=a(3)(-3)=-9a$, więc $a=\frac23$: $y=\frac23x(x-6)$.

Z miejsc zerowych zapisujemy $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, a współczynnik $a$ wyznaczamy z zaznaczonego punktu.

a) $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Punkt $P(0,3)$ daje $3=3a$, więc $a=1$:

$f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3.$

b) $f(x)=a(x+1)(x-3)$. Z $P(0,-\frac32)$: $-\frac32=-3a$, więc $a=\frac12$:

$f(x)=\frac12(x+1)(x-3)=\frac12x^2-x-\frac32.$

c) $f(x)=ax(x+4)$. Punkt $P(-3,3)$ daje $3=-3a$, więc $a=-1$:

$f(x)=-x(x+4)=-x^2-4x.$