NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 34 — rozwiązania zadań

Zadanie 7

Wykazujemy naturalność sześciu wartości przez przekształcenie sum, różnic lub iloczynów pod pierwiastkiem w pełne sześciany.

6 podpunktów

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym przypadku wyrażenie pod pierwiastkiem jest pełnym sześcianem:

a) $3^3+4^3+5^3=27+64+125=216=6^3$ .

b) $1^3+6^3+8^3=1+216+512=729=9^3$ .

c) $14^2-13^2=196-169=27=3^3$ .

d) $11^2+\sqrt[3]{64}=121+4=125=5^3$ .

e) $\sqrt[3]{12}\sqrt[3]{18}=\sqrt[3]{216}=6$ .

f) $\sqrt[3]{24}\sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{1728}=12$ .

Odpowiedź

Otrzymujemy kolejno: a) $6$ , b) $9$ , c) $3$ , d) $5$ , e) $6$ , f) $12$ ; wszystkie są naturalne.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 8

Tutaj należy z objętości dwóch prostopadłościanów wyznaczyć krawędzie sześcianów o identycznych objętościach.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Objętość sześcianu ma być równa $xyz$ , więc jego krawędź ma długość $a=\sqrt[3]{xyz}$ .

a) $a=\sqrt[3]{4\cdot4\cdot32}=\sqrt[3]{512}=8\ \text{cm}$ .

b) $a=\sqrt[3]{16\cdot20\cdot25}=\sqrt[3]{8000}=20\ \text{cm}$ .

Odpowiedź

a) $8\ \text{cm}$ , b) $20\ \text{cm}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

Celem ćwiczenia jest to, by z objętości dwóch prostopadłościanów obliczyć krawędź każdego z trzech jednakowych sześciennych klocków i wysokość wieży.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Jeżeli każdy z trzech jednakowych klocków ma krawędź $a$ , to objętość wieży wynosi $3a^3$ , a wysokość $3a$ .

a) $3a^3=4\cdot6\cdot16=384$ , więc $a^3=128$ i $a=4\sqrt[3]2$ . Wysokość to $12\sqrt[3]2\ \text{cm}$ .

b) $3a^3=6{,}25\cdot7{,}5\cdot8=375$ , więc $a^3=125$ , $a=5$ . Wysokość wynosi $15\ \text{cm}$ .

Odpowiedź

a) $12\sqrt[3]2\ \text{cm}$ , b) $15\ \text{cm}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

W tym przykładzie trzeba w czterech wyrażeniach włączyć dodatni współczynnik pod pierwiastek stopnia czwartego, piątego lub szóstego.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy $a\sqrt[n]b=\sqrt[n]{a^n b}$ :

$3\sqrt[4]2=\sqrt[4]{3^4\cdot2}=\sqrt[4]{162},$

$5\sqrt[4]4=\sqrt[4]{5^4\cdot4}=\sqrt[4]{2500},$

$4\sqrt[5]2=\sqrt[5]{4^5\cdot2}=\sqrt[5]{2048},$

$10\sqrt[6]{0{,}01}=\sqrt[6]{10^6\cdot0{,}01}=\sqrt[6]{10\,000}.$

Odpowiedź

a) $\sqrt[4]{162}$ , b) $\sqrt[4]{2500}$ , c) $\sqrt[5]{2048}$ , d) $\sqrt[6]{10\,000}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

Liczymy tu osiem złożonych wyrażeń z pierwiastkami wyższych stopni, łącząc radikandy i rozpoznając pełne potęgi.

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z praw działań na pierwiastkach tego samego stopnia.

a) $2+3+4+5=14$ .

b) $\sqrt[4]{16}-\sqrt[4]{81}+10=2-3+10=9$ .

c) $\sqrt[6]{64}-\sqrt[6]{1\,000\,000}-\sqrt[5]{32}=2-10-2=-10$ .

d) $\sqrt[8]{256}-\sqrt[10]{1024}+\sqrt[5]{1024}=2-2+4=4$ .

e) $2\cdot\frac32-3\cdot\frac45=\frac35$ .

f) $6\cdot0{,}5-3\cdot0{,}3=2{,}1$ .

g) $2-\frac12-\frac14=\frac54=1\frac14$ .

h) $10+2=12$ .

Odpowiedź

a) $14$ , b) $9$ , c) $-10$ , d) $4$ , e) $0{,}6$ , f) $2{,}1$ , g) $1\frac14$ , h) $12$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

Upraszczamy cztery sumy lub różnice iloczynów pierwiastków czwartego i piątego stopnia przez łączenie czynników.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy iloczyny pod wspólnym pierwiastkiem.

a) $\sqrt[4]{250\cdot40}+\sqrt[4]{375\cdot135}=\sqrt[4]{10\,000}+\sqrt[4]{50\,625}=10+15=25$ .

b) Pierwszy radikand upraszcza się do $(\frac65)^4$ , a drugi do $(\frac35)^4$ , więc wynik wynosi $\frac65-\frac35=\frac35$ .

c) $\sqrt[5]{405\cdot1875}-\sqrt[5]{108\cdot72}=15-6=9$ .

d) Pierwszy iloczyn pod pierwiastkiem to $(\frac53)^5$ , drugi $(\frac23)^5$ , zatem suma wynosi $\frac53+\frac23=\frac73$ .

Odpowiedź

a) $25$ , b) $\frac35$ , c) $9$ , d) $\frac73$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

Zamieniamy cztery pierwiastki sześcienne z ujemnych liczb całkowitych, dziesiętnych i mieszanych na liczby wymierne.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Pierwiastek nieparzystego stopnia zachowuje znak:

$\sqrt[3]{-8000}=-20,quad \sqrt[3]{-0{,}001}=-0{,}1,$

\sqrt[3]{-3\frac38}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac32=-1{,}5.$$

Odpowiedź

a) $-20$ , b) $-0{,}1$ , c) $-\frac54$ , d) $-1{,}5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

Liczymy tu sześć wyrażeń zawierających pierwiastki nieparzystych stopni z liczb ujemnych oraz ich iloczyny i ilorazy.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $2(-1)-(-3)=1$ .

b) $-(-\frac45)-\frac12=\frac3{10}$ .

c) $-\frac25-(-\frac43)=\frac{14}{15}$ .

d) $\sqrt[3]{-27}-\sqrt[3]{-8}=-3-(-2)=-1$ .

e) $\frac{\sqrt[3]{-8}}5-\sqrt[3]8=-\frac25-2=-\frac{12}{5}=-2{,}4$ .

f) $\sqrt[5]{32}+\frac{-2}{-1}=2+2=4$ .

Odpowiedź

a) $1$ , b) $0{,}3$ , c) $\frac{14}{15}$ , d) $-1$ , e) $-2{,}4$ , f) $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

W tym zadaniu należy w dwóch iloczynach algebraicznych wskazać czynnik z równą zero wartością i na tej podstawie uzasadnić zerowy wynik całości.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wystarczy wskazać w każdym iloczynie czynnik równy zero.

a) $z=\sqrt[10]{1024}+2\sqrt[9]{-1}=2+2(-1)=0,$ więc niezależnie od wartości $x$ i $y$ mamy $xyz=0$ .

b) $z=\sqrt[5]{-1}+\sqrt[4]1=-1+1=0,$ zatem także tutaj $xyz=0$ .

Odpowiedź

W obu podpunktach $z=0$ , dlatego $xyz=0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu