NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 33

Pierwiastkujemy osobno liczniki i mianowniki. W dwóch ostatnich podpunktach najpierw zamieniamy liczby mieszane:

$2\frac{10}{27}=\frac{64}{27},\qquad12\frac{19}{27}=\frac{343}{27}.$

Otrzymujemy kolejno

$\frac12,\ \frac14,\ \frac23,\ \frac45,\ \frac3{10},\ \frac56,\ \frac43,\ \frac73.$

Obliczamy pierwiastki z pełnych sześcianów:

$5+2=7,\quad5-4=1,\quad10+3=13,\quad8-6=2,$

$0{,}5+0{,}1=0{,}6,\qquad0{,}3+0{,}2=0{,}5.$

Wyłączamy największy pełny sześcian:

$\sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{8\cdot4}=2\sqrt[3]4,$

$\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot2}=5\sqrt[3]2,$

$\sqrt[3]{135}=\sqrt[3]{27\cdot5}=3\sqrt[3]5,$

$\sqrt[3]{375}=5\sqrt[3]3,\quad \sqrt[3]{108}=3\sqrt[3]4,\quad \sqrt[3]{120}=2\sqrt[3]{15}.$

Korzystamy z $a\sqrt[3]b=\sqrt[3]{a^3b}$:

$2\sqrt[3]3=\sqrt[3]{24},\quad3\sqrt[3]2=\sqrt[3]{54},\quad3\sqrt[3]3=\sqrt[3]{81},$

$6\sqrt[3]2=\sqrt[3]{432},\quad4\sqrt[3]{10}=\sqrt[3]{640},\quad6\sqrt[3]5=\sqrt[3]{1080}.$

Ponieważ obie strony każdej równości są dodatnie, wystarczy porównać ich sześciany.

a) Sześcian lewej strony: $\left(\frac32\right)^3\frac23=\frac94=2{,}25,$ czyli jest to $\sqrt[3]{2{,}25}$.

b) $\left(\frac25\right)^3\frac54=\frac2{25}=0{,}08.$

c) $\left(\frac53\right)^3\frac35=\frac{25}{9}=2\frac79.$

Sześciany stron są równe w każdym podpunkcie.

Rozpoznajemy odpowiednie potęgi:

$81=3^4,\quad -32=(-2)^5,\quad0{,}0016=0{,}2^4,$

$-0{,}00001=(-0{,}1)^5,\quad729=3^6,\quad-128=(-2)^7.$

a) $x=\frac54$, a $y=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac32$, więc $y>x$.

b) $x=\frac{10}{3}$ oraz $y=\sqrt[3]{\frac{3000}{81}}=\sqrt[3]{\frac{1000}{27}}=\frac{10}{3},$ zatem $x=y$.

c) $x=\frac69=\frac23$, a $y=\sqrt[3]{\frac{135}{320}}=\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac34,$ więc $y>x$.

d) $x=\sqrt[3]{\frac{0{,}064}{0{,}125}}=\sqrt[3]{0{,}512}=0{,}8,$ $y=\sqrt[3]{\frac{0{,}081}{0{,}192}}=\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=0{,}75,$ więc $x>y$.