NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 336

Obliczamy wyróżnik i pierwiastki.

a) $\Delta=361$, $\sqrt\Delta=19$: $x=\frac{9\pm19}{4}$, więc $x=-\frac52$ lub $x=7$.

b) $\Delta=121$: $x=\frac{13\pm11}{8}$, więc $x=\frac14$ lub $x=3$.

c) $\Delta=289$: $x=\frac{-13\pm17}{-12}$, więc $x=-\frac13$ lub $x=\frac52$.

d) $\Delta=-84<0$, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

e) $\Delta=1$: $x=\frac{-5\pm1}{-4}$, więc $x=1$ lub $x=\frac32$.

f) $\Delta=0$, więc $x_0=-\frac{12}{8}=-\frac32$.

g) $\Delta=-1<0$, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

h) $\Delta=\frac94$: $x=\frac{\frac12\pm\frac32}{2}$, więc $x=-\frac12$ lub $x=1$.

i) $\Delta=0$, więc $x_0=\frac{\frac13}{\frac12}=\frac23$.

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

a) $2x^2+7x+3=0$, więc $x=-3$ lub $x=-\frac12$.

b) $3x^2-x-10=0$, $\Delta=121$, więc $x=-\frac53$ lub $x=2$.

c) $16x^2+24\sqrt2x+18=0$ ma $\Delta=0$, zatem $x_0=-\frac{24\sqrt2}{32}=-\frac{3\sqrt2}{4}$.

d) $3x^2+2x-6=0$, $\Delta=76=4\cdot19$, więc $x=\frac{-1\pm\sqrt{19}}3$.

e) $5x^2+2x-2=0$, $\Delta=44=4\cdot11$, więc $x=\frac{-1\pm\sqrt{11}}5$.

f) $5x^2-8x+5=0$ ma $\Delta=-36<0$ — brak rozwiązań.

g) $11x^2-x+55=0$ ma $\Delta=-241<0$ — brak rozwiązań.

h) $x^2-3x-7=0$, więc $x=\frac{3\pm\sqrt{37}}2$.

i) $3x^2-7x+1=0$, więc $x=\frac{7\pm\sqrt{37}}6$.

Dla osi $OY$ podstawiamy $x=0$. Przecięcia z $OX$ są miejscami zerowymi.

a) $f(0)=-1$, a $3x^2+2x-1=0$ daje $x=-1,\frac13$.

b) $f(0)=3$, a $2x^2+6x+3=0$ daje $x=\frac{-3\pm\sqrt3}{2}$.

c) $f(0)=3$, a $-4x^2+x+3=0$ daje $x=-\frac34,1$.

d) $f(0)=12$, a po pomnożeniu równania przez $3$ otrzymujemy $(x+6)^2=0$, więc $x=-6$.

e) $f(0)=5$, zaś $\Delta=9-10=-1$, więc wykres nie przecina osi $OX$.

f) $f(0)=1$. Po pomnożeniu równania przez $-4$ mamy $x^2+\sqrt2x-4=0$, skąd $x=\sqrt2$ lub $x=-2\sqrt2$.

Rozwijamy obie strony i sprowadzamy równanie do postaci ogólnej.

a) $2x^2+3x-2=0$, więc $x=-2$ lub $x=\frac12$.

b) $15x^2+7x-2=0$, więc $x=-\frac23$ lub $x=\frac15$.

c) $x^2-10x+12=0$, więc $x=5\pm\sqrt{13}$.

d) $x^2-18x+72=0$, więc $x=6$ lub $x=12$.

e) $x^2-7x+3=0$, więc $x=\frac{7\pm\sqrt{37}}2$.

f) $x^2+2x+18=0$ ma $\Delta=-68<0$, więc brak rozwiązań rzeczywistych.

O liczbie rozwiązań decyduje znak wyróżnika.

a) $\Delta=2^2-4(\sqrt2-1)\cdot2=12-8\sqrt2>0.$

Nierówność wynika z $3>2\sqrt2$ (po podniesieniu do kwadratu: $9>8$). Równanie ma więc dwa rozwiązania.

b)

$$\Delta=(1-2\sqrt3)^2-4\cdot13\cdot\frac18 =\frac{13}{2}-4\sqrt3<0.$$

Rzeczywiście $13<8\sqrt3$, bo $169<192$. Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

a) Najpierw rozwiązujemy $f(t)=2t^2-8t+5=0$:

$t=\frac{8\pm\sqrt{24}}4=2\pm\frac{\sqrt6}{2}.$

Dla $g$ podstawiono $t=x-\frac14$, więc $x=\frac94\pm\frac{\sqrt6}{2}$. Dla $h$ mamy $t=x-\frac{\sqrt6}{2}$, zatem $x=2$ lub $x=2+\sqrt6$.

b) Równanie $f(t)=-\frac12t^2+4t+6=0$ po pomnożeniu przez $-2$ ma postać $t^2-8t-12=0$, więc

$t=4\pm2\sqrt7.$

Dla $g$ jest $t=x+\frac72$, stąd $x=\frac12\pm2\sqrt7$. Dla $h$ jest $t=x+2\sqrt7$, więc $x=4-4\sqrt7$ lub $x=4$.

a) Z własności wartości bezwzględnej:

$x^2-2x=1\quad\text{lub}\quad x^2-2x=-1.$

Pierwsze równanie daje $x=1\pm\sqrt2$, a drugie $(x-1)^2=0$, czyli $x=1$.

b) Mamy

$x^2+4x=3\quad\text{lub}\quad x^2+4x=-3.$

Pierwsze równanie daje $x=-2\pm\sqrt7$, a drugie $(x+1)(x+3)=0$, czyli $x=-1$ lub $x=-3$.

Korzystamy z równoważności $|A|=|B|\iff A=B$ lub $A=-B$.

a) Z pierwszej równości otrzymujemy $x=-2$. Druga daje $2x^2+x-2=0$, więc $x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4$.

b) Równości prowadzą do $x^2=0$ albo $3x^2-2x=0$. Zatem $x=0$ lub $x=\frac23$.

c) Pierwsza równość daje $x=1$, a druga $x^2+x-2=0$, czyli $x=-2$ lub $x=1$.

d) Pierwsza równość daje $x^2-1=0$, czyli $x=\pm1$. Druga prowadzi do $x^2+2x-7=0$, więc $x=-1\pm2\sqrt2$.