NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 330

Wyłączamy $x$ przed nawias.

a) $-7x(x-6)=0$, więc $x=0$ lub $x=6$.

b) $x(9x+\frac13)=0$, więc $x=0$ lub $x=-\frac1{27}$.

c) $6x(6x-1)=0$, więc $x=0$ lub $x=\frac16$.

d) $2x(9x+1)=0$, więc $x=0$ lub $x=-\frac19$.

e) Ponieważ $\sqrt8=2\sqrt2$, $\sqrt2x(x-2)=0$, więc $x=0$ lub $x=2$.

f) $x(3x+\sqrt3)=0$, więc $x=0$ lub $x=-\frac{\sqrt3}{3}$.

Sprowadzamy równania do iloczynu lub kwadratu.

a) $(10x-9)(10x+9)=0$, więc $x=\pm\frac9{10}$.

b) $(\frac{x}{2}-\frac13)(\frac{x}{2}+\frac13)=0$, więc $x=\pm\frac23$.

c) $(x+5)^2=0$, więc $x=-5$.

d) $(x-8)^2=0$, więc $x=8$.

e) $(x-12)^2=0$, więc $x=12$.

f) $(3x+1)^2=0$, więc $x=-\frac13$.

g) $2x^2=1$, więc $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

h) Po pomnożeniu przez $-2$ otrzymujemy $(x-2)^2=0$, więc $x=2$.

i) Po rozwinięciu i przeniesieniu wyrazów otrzymujemy $(x-6)^2=0$, więc $x=6$.

Punkt przecięcia z osią $OY$ otrzymujemy dla $x=0$. Punkty przecięcia z osią $OX$ wyznaczamy z równania $y=0$.

a) $3x(x-4)=0$: $(0,0)$ i $(4,0)$; punkt na $OY$ to także $(0,0)$.

b) $3(x^2-4)=0$: $(-2,0)$, $(2,0)$ oraz $(0,-12)$.

c) $3x^2+12>0$, więc brak przecięcia z $OX$; z $OY$: $(0,12)$.

d) $x(900x+4)=0$: $(0,0)$ i $(-\frac1{225},0)$.

e) $900x^2+4>0$, więc brak przecięcia z $OX$; z $OY$: $(0,4)$.

f) $900x^2=4$, czyli $x=\pm\frac1{15}$; punkty to $(-\frac1{15},0)$, $(\frac1{15},0)$ i $(0,-4)$.

Porównujemy zbiory miejsc zerowych obu funkcji.

a) $f(x)=(x-2)(x+2)$ ma zera $-2,2$, a $g(x)=(x-2)^2$ ma zero $2$. Wspólne zero: $2$.

b) $f(x)=x(x+4)$ ma zera $0,-4$, a $g(x)=\frac12(x+4)^2$ ma zero $-4$. Wspólne zero: $-4$.

c) $f(x)=(\frac{x}{3}-1)(\frac{x}{3}+1)$ ma zera $-3,3$, a $g(x)=(x-3)^2$ ma zero $3$. Wspólne zero: $3$.

a) $6x^2=18$, więc $x^2=3$ i $x=\pm\sqrt3$.

b) $x^2=-4$. Kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny, więc równanie jest sprzeczne.

c) $\frac45x^2=2$, czyli $x^2=\frac52$. Stąd $x=\pm\frac{\sqrt{10}}2$.

d) $4x^2=-1$, zatem równanie jest sprzeczne w zbiorze liczb rzeczywistych.

a) Równość kwadratów daje $2x+3=x-3$ lub $2x+3=-(x-3)$, stąd $x=-6$ lub $x=0$.

b) Mamy $1-\frac12x=\frac32x-5$ lub $1-\frac12x=-(\frac32x-5)$, skąd $x=3$ lub $x=4$.

c) Pierwszy czynnik to $(4x-1)^2$, a drugi $(3x-2)(3x+2)$. Zatem $x=\frac14$ lub $x=\pm\frac23$.

d) Pierwszy czynnik to $(\frac{x}{2}+3)^2$, więc daje $x=-6$. Z $1-2x^2=0$ otrzymujemy $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

a) $x^2-1=3$ lub $x^2-1=-3$. Pierwsze równanie daje $x=\pm2$, drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

b) $4x^2-3=1$ lub $4x^2-3=-1$. Stąd odpowiednio $x=\pm1$ lub $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

c) Wartość bezwzględna jest równa zeru tylko wtedy, gdy jej wnętrze jest równe zeru: $2x^2-6=0$, zatem $x=\pm\sqrt3$.

d) Niech $t=|x|\ge0$. Wtedy $x^2=t^2$, więc $t^2=t$, czyli $t=0$ lub $t=1$. Zatem $x=0$ albo $x=\pm1$.