NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 327

Dla wierzchołka $W(p,q)$ zapisujemy $f(x)=a(x-p)^2+q$. Punkt $P(x_P,y_P)$ pozwala wyznaczyć

$a=\frac{y_P-q}{(x_P-p)^2}.$

a) $a=\frac{2-0}{(0-2)^2}=\frac12$, zatem $f(x)=\frac12(x-2)^2=\frac12x^2-2x+2$.

b) $a=\frac{0-(-1)}{(0+1)^2}=1$, więc $f(x)=(x+1)^2-1=x^2+2x$.

c) $a=\frac{1-3}{(3-0)^2}=-\frac29$, więc $f(x)=-\frac29x^2+3$.

d) $a=\frac{0-3}{(-2+1)^2}=-3$, więc $f(x)=-3(x+1)^2+3=-3x^2-6x$.

e) $a=\frac{1-2}{(2-1)^2}=-1$, więc $f(x)=-(x-1)^2+2=-x^2+2x+1$.

f) $a=\frac{2-4}{(1-2)^2}=-2$, więc $f(x)=-2(x-2)^2+4=-2x^2+8x-4$.

Punkty na osi $OX$ wyznaczają miejsca zerowe, więc korzystamy z postaci iloczynowej.

a) Dla miejsc zerowych $1$ i $3$ mamy

$y=k(x-1)(x-3).$

Punkt $A(0,3)$ daje $3=3k$, czyli $k=1$. Zatem

$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3.$

Do szkicu: ramiona są skierowane w górę, a wierzchołek to $W(2,-1)$.

b) Dla miejsc zerowych $-6$ i $2$:

$y=k(x+6)(x-2).$

Z punktu $A(0,6)$ otrzymujemy $6=-12k$, więc $k=-\frac12$. Stąd

$y=-\frac12(x+6)(x-2)=-\frac12x^2-2x+6.$

Do szkicu: ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek to $W(-2,8)$.

Podstawiamy współrzędne trzech punktów do $y=ax^2+bx+c$ i rozwiązujemy otrzymany układ.

a) Punkt $B(0,4)$ daje $c=4$. Pozostałe równania to $9a-3b=-3$ i $a+b=-3$, skąd $a=-1$, $b=-2$. Zatem $y=-x^2-2x+4$.

b) Otrzymujemy

$$\begin{cases} 16a-4b+c=1,\\ 9a-3b+c=-2,\\ a+b+c=-2. \end{cases}$$

Po odjęciu równań: $7a-b=3$ oraz $2a-b=0$, więc $a=\frac35$, $b=\frac65$, $c=-\frac{19}{5}$.

c) Z równań dla $x=-1$ i $x=1$ dostajemy $b=1$. Następnie $a+c=-4$ oraz $25a+c=8$, stąd $a=\frac12$, $c=-\frac92$.

d) Odjęcie równań dla $x=4$ i $x=-4$ daje $8b=-8$, czyli $b=-1$. Pozostałe równania prowadzą do $4a+c=1$ i $16a+c=-2$, więc $a=-\frac14$, $c=2$.

Po przesunięciu o wektor $[p,q]$ wykres ma równanie odpowiednio $y=(x-p)^2+q$ lub $y=-(x-p)^2+q$.

a) Warunki przechodzenia przez $A$ i $B$ dają

$0=(-2-p)^2+q,\qquad 4=(2-p)^2+q.$

Po odjęciu równań: $4=-8p$, więc $p=-\frac12$. Z pierwszego równania $q=-\frac94$.

b) Tym razem

$0=-(-2-p)^2+q,\qquad 4=-(2-p)^2+q.$

Po odjęciu równań: $4=8p$, więc $p=\frac12$, a następnie $q=(-2-\frac12)^2=\frac{25}{4}$.