NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 326

Oś symetrii trójmianu $ax^2+bx+c$ ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$. Podstawiamy równanie prostej $l$.

a) $-\frac{b}{2}=2$, zatem $b=-4$.

b) $-\frac{b}{2(-1)}=4$, zatem $b=8$.

c) $-\frac{b}{4}=-1$, zatem $b=4$.

d) $-\frac{b}{2(-\frac12)}=-6$, czyli $b=-6$.

Pierwsza współrzędna wierzchołka spełnia $x_w=-\frac{b}{2a}$. Po wyznaczeniu $a$ zapisujemy funkcję jako $a(x-x_w)^2+y_w$.

a) $2=-\frac4{2a}$, więc $a=-1$. Ponieważ $f(2)=1$,

$f(x)=-(x-2)^2+1.$

b) $1=-\frac6{2a}$, więc $a=-3$. Ponieważ $f(1)=5$,

$f(x)=-3(x-1)^2+5.$

c) $-4=-\frac2{2a}$, więc $a=\frac14$. Ponieważ $f(-4)=1$,

$f(x)=\frac14(x+4)^2+1.$

d) $-\frac32=-\frac{-6}{2a}$, więc $a=-2$. Ponieważ $f(-\frac32)=\frac72$,

$f(x)=-2\left(x+\frac32\right)^2+\frac72.$

Jeżeli wierzchołek ma współrzędne $(p,q)$ i współczynnik przy $x^2$ jest równy $1$, to

$f(x)=(x-p)^2+q=x^2-2px+p^2+q.$

Stąd $b=-2p$ oraz $c=p^2+q$.

a) Dla $(p,q)=(2,4)$: $b=-4$, $c=8$.

b) Dla $(p,q)=(-1,-3)$: $b=2$, $c=-2$.

c) Dla $(p,q)=(\frac12,-1)$: $b=-1$, $c=-\frac34$.

d) Dla $(p,q)=(10,0)$: $b=-20$, $c=100$.

Dla wierzchołka $W(p,q)$ postać kanoniczna ma postać $f(x)=a(x-p)^2+q$. Po rozwinięciu współczynnik przy $x$ jest równy $-2ap=6$, zatem $a=-\frac3p$. Stałą $c$ odczytujemy po rozwinięciu.

a) $p=-1$, więc $a=3$: $f(x)=3(x+1)^2+2=3x^2+6x+5,$ czyli $c=5$.

b) $p=6$, więc $a=-\frac12$: $f(x)=-\frac12(x-6)^2-3=-\frac12x^2+6x-21,$ czyli $c=-21$.

c) $p=2$, więc $a=-\frac32$: $f(x)=-\frac32(x-2)^2+4=-\frac32x^2+6x-2,$ czyli $c=-2$.

d) $p=-\frac32$, więc $a=2$: $f(x)=2\left(x+\frac32\right)^2-1=2x^2+6x+\frac72,$ czyli $c=\frac72$.